RÉPONSE AUX QUESTIONS DE CAVALIERI

Il y a longtemps qu'à l'exemple d'Archimèdc pour sa parabole, j'ai carré toutes celles en nombre indéfini dans lesquelles les abscisses sont proportionnelles aux ordonnées élevées à une puissance quelconque, (^ctlc découverte, que j'ai été le premier à faire, a été communiquée à I\I. de Bcaugrand et à d'autres; cependant je dois dire que Al. de Roberval, qui, sur mes indications, s'était attaqué à ces questions, en a trouvé de lui-même la solution, et a ainsi donné une preuve de l'heureuse perspicacité de son génie en Mathématique.

J'ai également trouvé les centres de gravité de ces figures et de celles qui en dérivent; j'ai employé à cet effet cette méthode qui m'appartient et grâce à laquelle j'ai aussi bien construit les tangentes des courbes quelconques, ainsi que leurs asymptotes, enfin tous les problèmes qui se rapportent à la recherche du maximum et du minimum.

Mais arrivons à la question : le savant Bonaventure Cavalieri demande ce que l'on peut dire des quadratures précitées. J'ai établi une ri'gle générale qui donne la solution, non seulement quand il y a rapport constant entre l'abscisse et une puissance de l'ordonnée, mais aussi quand le rapport est donné entre une puissance quelconque de l'abscisse et une puissance quelconque de l'ordonnée; voici l'énoncé i^énéral.

Soit une figure parabolique quelconque EAF {fig- iri), et suppo-

C\' EC sons, par exemple, .^ = t-j^- Je prends les exposants des puissances,

tant des ordonnées que des abscisses : l'exposant est '\ pour le bicarré

Febmat. — Ml. 22

le l'ordonnée; 3 pour le cube de l'abscisse. Je dis donc que le rapport lu parallélogramme EH à l'aire de la figure EAF est le même que celui le la somme des exposants des deux puissances à l'exposant de la

Fig. III.

puissance des ordonnées. Ainsi, dans l'exemple proposé, le rapport du parallélogramme à la figure inscrite sera de 7 à 4.

Dès lors, si, par exemple, .-^ = -^ , l'exposant de l'abscisse étant

simplement l'unité, le rapport du parallélogramme à la figure sera de 5 à 4.

Il en sera de même indéfiniment pour toutes les figures de ce genre.

Donc on peut alFirmcr ce que le savant Gavalieri ne proposait qu'avec doute, k savoir que s'il y a rapport constant entre les puissances des ordonnées et la simple longueur de l'abscisse (ou avec le coté, comme disent les analystes), le rapport du parallélogramme h la figure est de 2 à I pour le triangle, de 3 à 2 pour la parabole simple, de 4 à 3 pour la parabole cubique, de 5 à 4 pour la biquadratique, et ainsi de suite indéfiniment.

Si maintenanl, en laissant fixe la droite CA, on fait tourner la fîs;ure autour d' elle de façon à engendrer un solide, le rapport du cylindre lîH à ce solide se trouvera comme suit :

Le cylindre est au solide dans le rapport de la somme du double de l'exposant de la puissance de l'abscisse et de l'exposant de la puissance de l'ordonnée à ce dernier exposant.

Soit, par exemple, |^ — jt-t^- L'exposant du carré de l'abscisse

est 2, dont le double est 4; ajoutant 3, exposant de la puissance de