QUESTIONS DE CAVALIERI

l'ordonnée, on a 7; le rapport du cylindre au solide est donc de 7 à 3 (exposant de la puissance de l'ordonnée).

Par là, j'ai répondu à la seconde question.

Les centres de gravité ào toutes ces figures, tant planes que solides, divisent le diamètre dans le rapport soit du parallélogramme à la figure plane, soit du cylindre au solide.

Si l'on fait tourner la figure autour de KF, le solide engendré n'est plus simple comme précédemment, mais composé. Cependant un habile géomètre peut facilement établir une proposition simple entnî ce solide et le cylindre circonscrit. Je pourrai le montrer plus longuement et avec des preuves à M. Cavalieri, s'il le désire.

Mais quand il demande si des courbes de ce genre, en dehors du triangle et de la parabole, peuvent être des sections coniques, il semble ne pas penser à leurs propriétés spécifiques; il est lout aussi impossible qu'elles soient des sections coniques qu'il est impossible que la section de la sphère par un plan soit une parabole, une hyperbole, ou une ellipse.

Je lui demanderai en grâce de vouloir bien nous envoyer d'itali*' quel([ues problèmes.

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

Soit une parabole BAD {fig. 1 12) dont AC est l'axe, BC une ordonnée, AE le paramètre. On demande le rapport de la courbe AB à la droite BC.

Kig. 112.

Soit l'hyperbole MLO de centre G, d'axe transverse FL égal au paramètre AE de la parabole. Soit LN l'axe de cette hyperbole, dont nous supposerons le paramètre égal à l'axe transverse, en sorte que pour toute ordonnée on i\\l MN- = FN.NL. En G, élevons la perpendiculaire GH égale à l'ordonnée BC de la parabole; menons HM et LI, parallèles it GN et GH et par M, point de rencontre de HM et de l'hyperbole, menons l'ordonnée MN.

.le dis que le rapport de la courbe parabolique AB à la droite BC est le même que celui du quadrilatère MHGL (formé par les droites MG, HG, GL et la courbe ML) au rectangle IG.

Soit donnée (fig. 1 13) la parabole BAD; soient AC son axe, BC une ordonnée, AE le paramètre; on fait tourner la figure parabolique BAC

[vîUO, 201]

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

autour de l'ordonnée BC; trouver la mesure de la surface courbe du solide engendré.

Je construis l'hyperbole MNH ayant HI pour axe, en prenant si»n axe transverse HF égal au quart du paramètre de la parabole, c'està-dire de la droite AE, et en faisant le paramètre de celte hyperbole

FiR. ii3.

égal il son axe transverse, en sorte que, pour une ordonnée quelconque, on ait IM'- = FI.IH. Je prends HI égale ii l'axe AC de la parabole et je mène l'ordonnée IM. Du produit de CA par l'arc parabolique BA, je retranche l'aire hyperbolique IMH; je construis le carré égal à la différence. La diagonale de ce carré sera le rayon d'un cercle égal à la surface courbe du solide engendré par la rotation de l'aire ABC autour de l'ordonnée BC.

Soit une demi-parabole quelconque AC (Jig- 1 14)» de sommet A et d'axe AB; de cette courbe j'en déduis d'autres en nombre indéfini comme AF, AE, AD, etc.

Fis. ii-i.

Voici la loi de leur formation : pour la courbe AF, l'ordonnée BF est

égale à l'arc de courbe parabolique CA, et si je prends un autre point quelconque, comme N, par lequel je mène l'ordonnée NP, cette ordonnée NP est de même égale à l'arc de parabole AO. Pour la courbe EA, l'ordonnée EB est égale à la courbe FA du second degré et toute autre ordonnée QN est de même égale à l'arc PA de la même courbe du second degré. De même, pour la courbe AD, l'ordonnée BD est égale à la courbe EA du troisième degré, et toute autre ordonnée NR à l'arc QA de la même courbe du troisième degré ; et ainsi de suite indéfiniment.

Je dis que toutes ces courbes en nombre indéfini se trouvent dans un rapport donné avec la parabole simple primitive; voici comment on peut énoncer le théorème général :

Qu'on prolonge indéfiniment la parabole primitive AC par les points M, L, K, par exemple, et de même son axe par les points G, H, I, en nombre aussi grand que l'on voudra, en prenant BG = GH = HI = AB l'axe, et en menant les ordonnées GM, HL, IK :

Le rapport de la courbe parabolique AM à la courbe AF du second degré est celui de l'ordonnée GM à l'ordonnée BC.

Le rapport de la courbe parabolique AL à la courbe AE du troisième degré est celui de l'ordonnée HL à la droite BC.

Le rapport de la courbe parabolique AK à la courbe AD du quatrième degré est celui de l'ordonnée Kl à la droite BC.

Et ainsi de suite indéfiniment.

Si l'on fait tourner les figures AMG, AFB autour des ordonnées GM, BF, le rapport de la surface courbe engendrée par la figure AMG tournant autour de GM à la surface courbe engendrée par la figure AFB tournant autour de BF est égal au rapport de GM' à BC.

De même le rapport de la surface courbe engendrée par la figure ALH tournant autour de HL à la surface courbe engendrée par la figure AEB tournant autour de BE sera égal au rapport de HL' à BC.

Et ainsi de suite indéfiniment.

PROPOSITIONS A LALOUVÉRE.

Soit BA i^fig. ii5) une dcmi-cycloide dont on déduit une autre

courbe DA par la condition que le rapport des ordonnées ^ ou ^,

soit constamment égal à un rapport donné. Des géomètres ont démontré que la demi-cycloïde BA est double de la droite AC, diamètre du cercle générateur de la cycloïde. On demande la relation des courbes AD à d'autres lignes soit courbes, soit droites.

Fig. Il 5.

Voici notre énoncé général : Si ces nouvelles courbes se trouvent, comme sur la figure ci-dessus, entre la cycloïde et le diamètre du cercle générateur, toutes ces courbes AD et leurs parties seront égales à des arcs de parabole; si ces nouvelles courbes sont au contraire extérieures i> la cycloïde, comme dans la figure ci-après i^fig- iiO), toutes ces courbes AD et leurs parties auront un rapport donné à la somme d'une droite et d'un arc de cercle.

Sur la première ligure (7?g-. 1 15), le théorème général peut être Ibr-

mule comme il suit. Construisez AM pour la condition — ^rr-:^ — = TW'

prenez A comme sommet d'une parabole ayant AM pour paramètre et AC pour axe; soit G le point de rencontre de cette parabole et du prolongement de la droite BDC, H le point de rencontre avec le prolongement de la droite FEO. Le rapport de la courbe parabolique AG ii la

courbe AD sera donné; on aura en effet -r-r- = tt^. — rrrr^; et le rapport

AU- uL — \Ai' ' •

des arcs AH et AE sera le même.

Si l'on fait tourner les figures : ACG autour de l'ordonnée CG, ADG autour de la droite DC, le rapport des surlaces courbes engendrées sera égal au rapport des courbes AG et AD. Il en sera de même pour

17G ŒUVRES DE FERMAT. [î03, 204]

les parties de figure AOH, AEO, si on les fait tourner autour des droites OH, OE.

Pour l'autre figure {fig. 1 16), dans laquelle la courbe AD est exté-

< 1 II AU • r ■ CD^-CB^ AC , . , , , rieure a la cycloide Au, je lais — -^^ — = -r^rj. et je prends la longueur AM sur la même direction que AC; sur cette droite AM, je

Vv'. iiG.

décris un demi-cercle qui sera coupé aux points G et H par les droites

TM>r^ i-cn n /arcAG + GC\' /arc AH + HO X" HC'

DBC, liFO. On aura i-r; — = r-r^ — = ttt^^ — ^^ïTi' rap-

\ arc Al) y \ arcAE / 1)(.^— CB^ '

port donné.

Soit la parabole AC {^fig- 117). de sommet A, d'axe AB, d'ordonnée CB; de la courbe parabolique CA j'en déduis d'autres en

Fig. 117.

nombre indéfini CD, CE, CF, par la même méthode que précédemment (y?^. 1 14), sauf que cette fois je les fais toutes passer par l'extrémité de la même ordonnée, au lieu de les faire toutes passer par le sommet.

[205,200] PROPOSITIONS A LALOUVÈRE. 177

l.a propriété de ces nouvelles courbes sera donc qno, si l'on mène GUIOM parallèle à l'axe AB, la droite BD interceptée en D par la courbe CID du second degré sera égale à l'arc de parabole AC, et la droite GI égale à l'arc de parabole CH; la droite BK interceptée en E par la courbe du troisième degré sera égale ii l'arc DIC du second degré et ainsi de suite indéfiniment pour les courbes et leurs arcs.

Je dis que tontes ces courbes (^1), EC, FC, etc. sont égales à des arcs de paraboles primitives ou simples, qui seront toutefois (liirérentes de celles qui ont été précédemment égalées aux courbes dérivées. Voici le théorème général :

Je construis la parabole RP, ayant pour axe RQ = AB l'axe de la première parabole, et pour paramètre RV, double du paramètre AN. Je dis que l'arc RP de cette parabole est égal à la courbe (^ID.

Si, avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre RV = 3 AN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe COE.

Si, toujours avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre RV=4AN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe CMF.

Si, antonr des droites AB, BD, BE, BF, on (ait tourner les figures ACB, DCB, ECB, FCB, etc., on peut construire un cercle équivalent à cliacune des surfaces courbes des solides ainsi engendrés, avec aulant d(> fa(;ilité que l'on peut constrnire un cercle représentant la surface courbe du conoide paraboli(|ne engeiulré par la rotation de la parabole AB autour de l'axe AB. Je n'ajouterais pas cette dernière construction que j'apprends avoir déjà été trouvée (sans avoir cependant connaissance de ce qui a été écrit par d'autres snr ce sujet), si le procédé n'était pas général et ne s'étendait pas très aisément à tous les conoides engendrés autour des axes BD, BE, BF par ces nouvelles courbes en nombre indéfini.

Si l'on fait tourner (^fig. 1 17) la courbe CD autour de la droite BD, voici comment on trouvera la surface courbe du solide engendré :

Construisez, d'après la méthode ci-dessus, la courbe parabolique Ri*

I'ermat. — UI. .?.3.

(EliVRES DE FERMAT.

('■i,';il(' à la cmii-hc CID, cl faites (oiirner coKc parabole RI' autour de la