C.K r.K X KL . ,, , , , , , III

1^ = — j^j-j — ) et, d après la nature de la parabole simple,

yi'i (î()2 YT (i()

GK X KL = GO". Donc rrrr; = T^-TT. et Tm = , r' ou, en égalant le pro-

(ill- KL- <iH KL " '

duit des extrêmes à celui des moyens, GO x GH = KL x YT.

Si l'on mène les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les perpendiculaires en R, S, V, on prouvera de même que

QE X EF ^ KL X ER, l'F x FG - KL x XS ;

et ainsi de suite indéfiniment.

D'où, en ramenant à la méthode d'Archimède par le même procédé que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL par l'arc EXO de la seconde courbe. De même pour les autres segments paraboliques : par exemple,

segm. EQPF = KL x EX; segm. EQOG = KL x EXY; et ainsi de suite indéfiniment.

Or tous ces segments paraboliques sont donnés en rectilignes par la quadrature de la parabole qu'Arcliimède a démontrée; KL est également donné. Ou a donc également comme données tant la seconde courbe totale EXO que les arcs EX, EY, etc., interceptés sur elle par les perpendiculaires élevées aux points F, G, etc.

Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construction sera la môme, sauf que l'on prendra IK = 3AB; pour la quatrième courbe, IK — 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à dériver indéfiniment de la première, cette relation : que deux quel-

conques seront entre elles comme les segments paraboliques de même hauteur d'une même parabole, dont les distances au sommet de la parabole sont d'autant de fois le paramètre qu'il y a d'unités dans les ordres des courbes comparées entre elles.

Soient par exemple i^fig- i32) EMA notre courbe parabolique, AF son axe, EF sa demi-base, AD son paramètre, CD le neuvième de ce

Fig. i33 (11).

dernier, B le milieu du reste AC. Je forme de cette première courbe la seconde EOS, telle que, si l'on prend un point quelconque N sur la base, NO, perpendiculaire à la base, et qui rencontre les courbes M, 0, soit égale à l'arc E>I de la première courbe. Je forme ensuite de la seconde courbe la troisième EVR, où NV est égale à l'arc EO de la seconde courbe. De la troisième EVR je forme la quatrième EXL, où NX est égale à l'arc EV de la troisième courbe. Soit à part la parabole simple ou d'Archimède, d'axe indéfini GKQY, de sommet G, de paramètre GH = AB. On demande par exemple le rapport de la quatriènm courbe EXL à la primitive EMA.

La première de ces deux courbes étant du quatrième ordre, je prends sur l'axe l'abscisse GY = 4GII et, sur son prolongement, YO = EF (demi-base); je mène les ordonnées YT, OÀ.

La seconde des deux courbes à comparer étant du premier ordre, je prends sur l'axe l'abscisse GK égale au paramètre pris une seule

FEnMAT.— III. 26

fois et, sur son prolongement, KQ = EF (demi-base) ; je mène les ordonnées Kl, QP. D'après ce qui a été démontré et conformément à la règle

générale,

segm. parai). YT>,9 (i^i" courbe )EXL ^ segm. parai). KIPQ ~ (i" courbe )EMA

Mais, d'après Archimcde, le rapport des segments paraboliques est donné, donc celui des courbes est donné ; mais la première est donnée, comme il a été démontré; donc la quatrième est donnée, et l'on peut assigner une droite donnée qui lui soit égale. D'ailleurs cette relation constante peut, si l'on veut, être accommodée en langage géométrique, en écartant la parabole et on se servant seulement de la règle et du compas.

Enfin qui ne voit que ce qui a été prouvé et réduit en règle pour les courbes totales vaut pour les arcs de ces courbes à comparer entre eux, au moyen de segments paraboliques ayant pour hauteur les segments de la demi-base qui correspondent aux arcs de courbes?

Je n'ajoute rien sur les solides engendrés par ces courbes en nombre infini, ni sur leurs surfaces courbes, ni sur les centres de gravité de ces lignes, de ces solides ou de ces surfaces; car les métbodes générales données à cet égard par de célèbres géomètres ne laissent rien ignorer là-dessus une fois connue la propriété spécifique de la courbe donnée, quoiqu'en beaucoup de cas il ne soit pas inutile que cbacun fasse usage de sa propre industrie.

Mais, avant de terminer cet écrit, il me vient à la pensée d'examiner la proposition suivante :

Soient (Jïg. i33) COA notre courbe parabolique, A son sommet, Ali son axe, CB sa demi-base. On peut en former une infinité d'autres courbes de la manière déjà indiquée, mais non pas, comme auparavant, du côté de la base, au contraire de celui du sommet. Soient donc formées ainsi les courbes AIF, AGE, etc. indéfiniment, sous celte condition que, si ion prend sur l'axe un point quelconque D et que l'on mène à l'axe la perpendiculaire DOIG, qui coupe les courbes aux points 0, I, G, la droite DI

pour la seconde courbe soil égale à l'arc AO de la première, la droite DG pour la troisième, égale à l'arc AI de la seconde, et ainsi de suite indéfiniment. Toutes les courbes de cette sorte différeront d'espèce non seulement entre elles et par rapport à la première AOC, mais elles différeront

Fig. i33 (12).

aussi de celles que nous avons formées du côté de la base. On demande si les courbes AIF, AGE, etc. à l'infini sont égales à des droites données ou bien à d'autres courbes (' ).

Que les géomètres le cherchent, ils verront grandir encore la merveille. Il est certain que si les méthodes dont ils se servent pour mesurer les courbes sont générales et suffisantes, comme ils l'alfirment, et comme je ne prétends pas dès lors le mettre en doute, ils reconnaîtront la chose au premier coup d'œil et ils épargneront un travail superflu à un géomètre déjà fatigué.

S'ils trouvent quelques points trop concis dans les démonstrations précédentes, je les prie au reste d'y suppléer ou de m'excuser.

(') Dans la note de la page 237 du Tome I, il a été dit par inadvertance que les diverses courbes en question pouvaient être superposées par simple translation. De fait, ce sont des développées d'hyperboles, rentrant dans l'équation générale

{ny -\- b)'^ — nx' = b* ,

OÙ /( représente l'ordre de dérivation à partir de la développée de [)arabole, j ' = rtx2, ^^v^o donne celle équation, si l'on fait « = o et /i = —a.