FG = 8P
On prouvera de même pour les autres segments de tangentes que : HO = 9V, IN = ZY, MR = TX.
Donc la série des tangentes de la première figure est égale ii la série des tangentes de la seconde, d'où, par la méthode d'Archimèdc de réduction à l'impossible, on conclura facilement l'égalité des courbes AlF et 3Z8, premier point à établir, ainsi que l'égalité des arcs correspondants : FH = 89, HI = 9Z, etc.
Reste à prouver que les ordonnées de l'une des figures sont égales à celles de l'autre.
D'après la supposition faite, les ordonnées sont, de part et d'autre, dans le même rapport avec les sous-tangentes; donc les angles GFE, P87, formés par les tangentes et les ordonnées, sont égaux. De même
OHD = vJ^G, NIC = YZ5, RMB = XT^. D'ailleurs, tous les arcs de la première courbe, FH, HI, IM, MA sont respectivement égaux aux arcs de la seconde, 89, 9Z, ZI, 13, et l'inclinaison do ces arcs est constamment la même de part et d'autre (car l'inclinaison des courbes est mesurée par celle des tangentes qui font toujours, comme nous l'avons prouvé, des angles égaux dans les deux figures). Donc 1rs courbes AMIFH, 3TZ98 sont non seulement égales entre elles, mais
encore semblables, et si on imagine qu'on les superpose, elles coïncideront entièrement, et auront donc, aussi bien que leurs axes, leurs ordonnées égales ou plutôt identiques. C'est le second point qu'il fallait démontrer.
Proposition II.
Soient {Jig- i35) deux paraboles de même nature AOD, XI G,
d'axes AC, XF, de demi-bases DC, GF; soit par exemple : gr— , = TTVi'
et de même -j^ = ^tt^; nous restons ainsi sur notre parabole, quoique la proposition soit générale. Si les axes sont proportionnels aux dcmi-
Fig. i35 (2).
bases, c'est-à-dire si tt^ = ^) je dis que ces deux paraboles sont dans le rapport de leurs axes ou bien de leurs demi-bases, c'est-à-dire que
courbe AOD AC ^. CD
j — ^-f-r = :r^ ou bien = — -,
courbe Xld XI' UV
ces deux derniers rapports étant égaux par supposition.
La démonstration est facile. Je partage chaque axe en un même nombre quelconque de segments, soit deux seulement pour éviter la confusion et la prolixité. Soit donc B le milieu de l'axe AC, Y celui de l'axe FX; je mène les ordonnées BO, YI, puis en D, 0, les tangentes DN, OM, dont la première rencontre en E l'ordonnée BO, la seconde en V la parallèle AV aux ordonnées; de même sur l'autre ligure, je mène aux points G, I les tangentes GK, IS, qui rencontrent en H, R l'ordonnée Yl et la parallèle XR.
Par supposition, j^ = ç!^; d'autre part, d'après la nature de la
, , C\ 2 , FX 2 , DC GF ,
parabole, r^. = tj» et ; ^^r^ = ^j donc 7^ = t^î donc
' sous-lang. LN 3 sous-lang. tK 3 CN rK
les triangles DNC, GKF sont semblables; donc s^ = ^- Mais
DN DE f GK GH , DE G II
NG ~ GB '^ KF ~~ FY ' "'^ Giî ~ FY '
