OE + OV GII -H IR

AG XF

Mais la somme des segments, DE + OV, dont on peut multiplier le nombre autant qu'on le voudra, représente, par la réduction à l'impossible, comme on l'a déjà indiqué et prouvé, la courbe totale DOA; de même la somme GH + TR, dont on peut aussi multiplier le nombre des termes à volonté, représente la courbe totale GIX. Donc

courbe DOA courbe GIX

axe AG ~ axe XF '

vicissim cl converlendo :

axe AG base DG courbe DOA

axe XF base GF courbe GIX

Proposition III.

Soit (/ig. i36) AO une courbe d'axe AG, de base CO; imaginons

formée sur elle une courbe de même axe et de même sommet, dont les

ordonnées soient proporlionnellcs à celles de la première courbe, c'est-

. ,. Iiasc CO Ri^ onlonnéc (le la r" DE . ■ ip • . c^-

a-dire t -^ — .-ttt j -. — ; — ; = y-^, etc., indeiiniment. .S;

base GV^ ]{K ordoiiiiee de la i" DN

e/i un point quelconque 0 de la première courbe, on mène la tangente OH

rencontrant l'axe en II, ci que l'on prolonge CO jusqu'à la rencontre

de la seconde courbe en \,je dis que la droite qui Joint V, H est tangente

à la seconde courbe, et que les tangentes qui se correspondent sur les deux courbes coupent toujours l'axe au même point.

Fig. i36 (3).

En effet, menons les ordonnées BPR, DEN, rencontrant les courbes en P, R,E, Net les droites OH, VH ou leurs prolongements en Q,S,F, M. Si nous prouvons que BS, menée au-dessus de CV, est toujours plus grande que RR, et que DM, menée au-dessous, est aussi plus grande que l'ordonnée DN, il sera clair que la droite MVSH est tangente à la seconde courbe en V.

Or, par construction, tttf = jyïï' *^^' ^^ raison du parallélisme des

. , CO RQ , RP même point, ^^ — gg-; donc

roites COV, BQS, que coupent les trois droites CH, OH, VH, issues d'un

RO ... Rl^ Rt{ — = ^;mcissim^^ = ^.

Mais, OQH étant tangente à la première courbe en 0, BQ>BP; donc BS >> BR. Ce qu'il fallait prouver en premier lieu.

La démonstration est la même pour l'ordonnée menée plus bas. En

ro DF

effet, on suppose r^F = ïy>j' d'autre part, à cause des parallèles,

^=:5Z; donc ^ = ^- Mais DE<DF; donc DiN<DM. Donc MVSH est tangente en V à la seconde courbe.

Lemme pour ce qui suit.

Soit {fig- i37) notre parabole GIA, d'axe AE, de demi-base EFG, de tangente GH. Construisons sur le même axe AE une autre parabole FNA, telle que l'on ait pour la demi-base : EF-= jEG-, et de

même pour les ordonnées quelconques : NO-=:iOr-. Soient AD le paramètre de la première parabole GIA, CD sa neuvième partie, B le milieu du reste. Je mène en F la tangente FH à la seconde parabole; elle rencontre l'axe au même point H que la tangente à la première,

d'après la proposition précédente, ou bien d'après la nature de ces

paraboles, puisque l'on a pour l'une et pour l'autre •* prj-, = t;- Je dis

ÏAH