EU^ ~ GE

Nous prouverons de même que, si FE^ = iGE^ . , même pour les rapports des carrés : {, }, etc. à l'intini.

Puisque, pour le rapport ^, nous avons prouvé que .,..,

EG EF^ \A\i

componendo , FH= iAB + GE

FE^-(-EIPW=FH-) lAn+GE

Ell^

• Si EF^ :

; SI Et- = |GE-, on aura p-,T^ =

^GE°, on aura t-EG

-; et ainsi

EH^ ~ GE j - — — ,— ' — ""■" £ip — ^^^

de suite indéfiniment, cette relation ayant d'ailleurs lieu pour toute

ordonnée.

Proposition IV.

Cela posé, nous découvrons sans difficulté le théorème général.

Soient (y?^". i38) notre parabole AC, AB son axe, BC la demi-base; soient formées sur elle les autres courbes en nombre inlini AD, AE,

FEnUAT.

ni.

AF, tcllos que, si l'on mène une ordonnée quelconque BCDEF, Bl) soit toujours égale à la première courbe CA, Bli à la seconde AD, BF

Kig. 1 38 (.'.).

à la troisième AE, et qu'il en soit de même pour toutes les courbes et toutes les ordonnées. Je dis que chacune de ces courbes AD, AE, AF, etc. à l'infini, est toujours égale à une droite donnée, de même que cela a lieu pour les courbes que dans la Dissertation nous avons construites du coté de la base par un procédé analogue.

Voici le théorème général : Soit construite à part (Jig. iSq) la parabole 03M absolument égale et semblable à la parabole AC, ayant par

conséquent son axe MN-= AB, sa demi-base ON^BC; c'est seulement pour éviter la confusion que nous faisons une figure à part. Soit NP-^'2NM\ NQ==3NI\P, NR= = /4NM-, et ainsi de suite indéfiniment. La demi-base ON restant la même, je construis, par les sommets P, Q, R, des paraboles de même nature que la parabole 03M ou AC; soient 04P. 05Q, OGR, etc. ces paraboles.

I2iî, îM] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 211

h' dis que la parabole 04P = courbe AD, que la parabob» OoQ — courbe AP], que la parabole 06R — courbe AF; et ainsi de suite indéfiniment.

Comme, en cfict, dans nos paraboles O'JP, 05Q, 06R, si l'on mène l'ordonnée 23'i5(J. <>n «i toujours, d'après la nature de ces paraboles,

ON^ NP= ON^ NQ^ ŒV' mv-

( 42 )•' ~ ( P 2 y' ' râ2 )' "^ ( Q 2 )-^ ' {&r'f ~ ( lT7)^ '

il est clair, d'après ce qui a été démontré dans la Dissertation, que chacune de ces paraboles est égale h une droite donnée; par suit<', notre théorème général une fois démontré, il s'ensuivra que chacune des courbes AD, AE, AF est égale à une droite donnée.

Voici la démonstration du théorème général : Soient AS le paramètre de notre parabole, SY son neuvième, V le milieu du reste. Aux points C, D, E, je mène aux nouvelles courbes les tangentes CI, DH, EG, (|ui rencontrent l'axe aux points I, H, G. D'après ce qui a été

démontré dans la Dissertation (prop. III) : ...r — \r,.; compnnendo :

Uj; — — .. , .Mais, d après la Dissertation (prop. VI ) : . - = y -,

BH étant la sous-tangente de DH; donc vttt^ — * — rrr, — ; componendo :

ÎTTjj = ryp Mais, u après la même proposition, .v.^ = -r-r,^ JsG

., ,1 , . I i^n 1 BE^ AV + 2RC étant la sous-tangente de EG ; donc rr^.-^ = rr-.

Nous prouverons de même que, si l'on mène à la courbe EA l'ordonnée ZTK, coupant en lia courbe CA, et que l'on imagine au point K

I , , . , I Ai.'n K^'-' AV + 2ZT .

la tangente a la courbe AKE : . ,. , = — ,>.., , et

" (.sous-iuiijjeiilo (le K)- Zl

cela, quel que soit le point K.

Soit tracée {fig- i^o) sur une figure à part, pour éviter la confusion, cette même courbe AKE, qui sera désignée dans cette figuri; nouvelle par ^pX. Soient donc la base XS — EB, la tangente Xy ~ EG, l'axe Gp — BA, la sous-tangente <5y=:BG, l'ordonnée v^ -- ZK. De

cette courbe Xçp, j'en forme une moindre Ou^, telle que les carrés de ses ordonnées soient moitié des carrés dos ordonnées de la première courbe; ainsi oO- = ^Sa-, vii^--^v^^, etc. Je mène à cette nouvelle courbe les tangentes Gy, ■n:7, aux points 0, u.

Fi"

Fig. l'io (5)

D'après la proposition III ci-dessus, il est clair que les tangentes Oy. Xy rencontrent l'axe au même point y; de même les tangentes en o, ir rencontrent l'axe au même point 7, puisque les ordonnées des deux courbes sont en rapport constant.

.Te trace encore à part (Jig. i/ji) une parabole de même nature que OM, OP. etc., d'axe 98 = MiN =: AB = pS; de demi-base 0^ = NO v/| ou BC v/|. Soit y 1 1 9 cette parabole dont je forme une autre courbe 912J', de même axe 98, mais dont l'ordonnée 8(|/ = arc/^i 1 9; l'ordonnée 10 1 1 12 -- arc 1 1 9, et de même pour les autres.

Fig. .4' (5).

Il faut prouver en premier lieu que les courbes 0-::j3 et (|/i29 sont les mêmes, c'est-à-dire absolument égales et semblables. Voici com-

RE'^ ï^'- AV-+-9,CR ment. Nous avons prouvé que ^^ ou v^ = ,.. ' ' - Prenant la

moitié des antécédents, comme nous avons supposé OS^— . ^Xo*.

or- iAV + CR ^, , . ...

^^ — - — ^Tfi Nous prouverons de même, pour une autre ordonnée