Diophante, II

« Résoudre en nombres rationels l'équation indéterminée : .1:''-^-/-= a''-. »

Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré; j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.

;i. - Diophante, II, 10.

« Ucsoudre : x'--^- r'^— ti"-^ 0-. u

Un nombre, somme de deux cubes, peut-il être de même partagé en deux autres cubes"? C'est là un problème difTicile dont la solution a

Fermât. — III. 3l

2V2 ŒUVRES DE FERMAT. [?9î, 2i)3]

(•(M-tainomentété ignorée par Bachct et par Viète, peut-être par Dio- |)lianle lui-même; je l'ai résolu plus loin dans mes Notes sur le prol.li-n.e IV, 2.

A. — Diophanle, III, 10.

.l';ii indiqué, dans ma Note sur le problème V, ;)0, coninicnt on peut trouver quatre nombres tels (|ue la somme de deux (juelconques d'enli-e eux, augmentée d'un ncmibro donné, fasse un carré.

r;. — Diophante, III, H.

i( Uosoudre le |)rolilcnic précéiieiU, on siip|)osoiil « iu'i;iilif. »

Ma Note sur V,.'îl montre comment on peut trouver qnalre nombres t(ds que la somme de deux quelconques d'entre eux, diminuée d'un nombre donné, fasse un carré.

G. — Diophante, III, 17.

Il Rcsouilrc : Tf ■+- .r +) = Di X^ -i-J + - = n 1 -•»■ -t- : + •'■ = D • »

11 y a dans Diopbanteun autre problème, V, 5, sur le même sujet (' ). (.lependant on ne sait pas s'il a omis, tout en le connaissant, le problème suivant ou s'il n'en avait pas, plus probablement, donné la solution dans un de ses treize Livres :

Trouver trois carrés tels (jue le produit de deux (juelconques d'entre

ei

ux, augmente de la somme des deux mêmes carrés, fasse un carré.

Je puis donner de ce problème des solutions en nombre indéfini. En

, , , . , 3 .5o.1 384 aoigali , ,.

VOICI une, nar exemple; les trois carres : — ^ri — > — ^n — > i- salis-

' ' 2o3 l\o\ loi 4oi

l'ont il la condition proposée.

On peut d'ailleurs aller plus loin et étendre la question de Dio-

(' ) V, 3, Diophante suppose que les inconnues du problème III, 17 sont des carrés ; il ajoute de plus les conditions : xy + 2 = D, y^ + x = D, "■'' + j = D.

[293, -294] onSEnVATIONS SUU DlOl'HANTK. '2/t3

pliante. Ainsi j'ai traité généralement le pi'obli'nie suivant et je puis en l'ouriiii' îles solutions en nombre indélini :

Troiacr (juatrc nombres tels que le produit de deux f/ue/eo/if/inx d' entre eut, augmenté de la somme des deux mêmes nombres, fasse un carré.

On eherchcra, d'après V, 5, trois carrés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes carrés, fasse un carré. Soient par exemple les trois carrés don nés par Diophan le:

— ■> - -> -^-; nous les prentirons pour les trois premiers nombres de !» 9 9

notre problème; soit x le quatrième; en formant son produit avec chacun des précédents et en ajoutant la somme des deux fadeurs, nous aurons

.i.'l ■?ft