Commentaire de Bachet sur Diophante, III

Tiiiil iKimbi'c |trcmier, de la forme \n -+- i, est une seule fois l'hvpoténuse d'un triangle rectangle; son carré l'est deux fois, son cube trois, son bicarré (|ualrc, et ainsi de suite indéliniment.

].(" inéinc nombre premier et son carré sont, d'une seule façon, somme de deux carrés; son cube et son bicarré le sont de deux façons; sa cinquième et sa sixième puissance de trois façons, et ainsi de suite indéliniment.

Si un nombre premier, ((ui soit la somme de deux carrés, est multi- |)lié par un antre nombre premier, qui soit également la somme de deux carrés, leur produit sera, de deux façons différentes, somme de deux carrés; si le multiplicateur est le carré du second nombre premier, le |)rotluit sera somme de deux carrés de trois façons différentes; si le multiplicateur est le cube du second nombre premier, le

2ÏÏ ŒUVRES DE FERMAT. [20'i, 290]

produit sera somme de deux carrés de quatre façons diflerentes, ot ainsi de suite indéfiniment.

II est, d'après cela, facile de déterminer de combien de façons différentes un nombre donné peut être hypoténuse d'un triangle rectangle.

On prendra tous les diviseurs premiers de ce nombre qui seront de la forme f\n -\-\; par exemple 5, j3, 17.

Si le nombre donné est divisé par des puissances de ses facteurs premiers, il faut d'ailleurs prendre ces puissances au lieu du facteur simple; supposons par exemple que le nombre donné soit divisé par lo cube de 5, par le carré de i3 et par 17 simplement.

On prendra les exposants de tous les facteurs, à savoir : pour 5, l'exposant 3 du cube; pour i3, l'exposant 2 du carré; pour 17, l'unité simple.

On ordonnera, comme on voudra, lesdits exposants; soit, par exemple, l'ordre 3.2. i.

On multipliera le premier par le second, on doublera et on ajoutera la somme du premier et du second; il vient 17. On multipliera 17 par le troisième, on doublera et on ajoutera la somme de 17 et du troisième; il vient 52. Le nombre donné sera hypoténuse de 52 triangles rectangles différents. Le procédé sera le même quel que soit le nombre des facteurs et quelles que soient leurs puissances.

Les autres nombres premiers, qui ne sont pas de la forme !\n-\- i, ainsi que leurs puissances, n'ajoutent ni ne diminuent rien au nombre qu'il s'agit de trouver.

Trouver un nombre premier qui soit hypoténuse d^ autant de façons que l'on voudra.

Soit il trouver un nombre qui soit hypoténuse de sept façons différentes.

Je double le nombre donné 7; il vient 14. J'ajoute i, ce qui fait i5. Je prends tous les diviseurs premiers de i5, qui sont 3 et 5. Je retranche l'unité de chacun d'eux, et je prends la moitié des restes; j'ai I et 2. Je prends maintenant autant de facteurs premiers que

[2%, 297] OBSERVATIONS SUR niOPIIANTE. 2W

j';ii ici de nombres distincts, à savoir doux, et je mulliplic entre enx ces facteurs premiers en les aiïectant des exposants i et 2; pourvu que CCS facteurs premiers soient de la forme ^in-h \, j'aurai ainsi (en multipliant l'un par le carré de l'autre) un nombre satisfaisant à la question proposée.

Il est dès lors facile de trouver le nombre minimum (jui soithvpoténusc d'autant de façons que l'on voudra.

TroiH'cr un nombre qui soit somme de deux carrés d'autant de façons que l'on voudra.

Soit proposé de 10 façons; je prends tous les facteurs premiers du double 20: j'ai 2.2.5. De cbacun de ces nombres je retranche l'unité; il vient 1.1.4. J'aurai en conséquence à prendre trois nombres premiers de la forme /jn + i, par exemple, les nombres 5, i3, 17; à cause de l'exposant '\, je prendrai la quatrième puissance de l'un de ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le nombre cherché.

Il est d'après cela facile de trouver le nombre minimum qui soit somme de deux carrés d'autant de façons qu'on le voudra.

Pour reconnaître de combien de façons différentes un nombre donné est somme de deux carrés, voici la méthode.

Soit proposé le nombre 32."). Ses diviseurs premiers, de la forme l\n -\- 1, sont : 5 par son carré, i3 simplement. Je prends les exposants : 2. I. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute l'unité, ce qui fait G; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera somme de deux carrés de trois façons différentes.

Si l'on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j'ajoute la somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l'unité, ce qui fait 18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux carrés de ne///" façons différentes.

Si le dernier nombre dont on aurait à prendre la moitié se trouvait

■2Mj (EUVRES DR l'EP.MAT. [297,2!)8]

iiii|)air, on on rolranchcrait. l'unilù, oL l'on priMulrail la nioilié dn roslo.

Le prohiiimc snivant peut encore être proposé : Trouver un nombre entier doiil la somme avee un entier donné fasse un carré et (jut , (V autre pari, soif ilivpoténuse d'autant de triangles reetangles que l'o/i roudra.

La question est (lilficile. Si, par exemple, on demande de trouver nn noml)re qui soit 2 fois Iwpoténuse, et qui, augmenté de 2, lasse un i-ai'ré, 2023 est un nombre satisfaisant à ees eonditions, et il y en a nue infinité d'autres, comme 3j(J2, etc.