Commentaire de Bachet sur Diophante, IV

rc I. Puni- résoudre; .r^H-) = = rj^— /'■', on posera ■>■=— j^—li, y = a r--

Pour (|iie les deux nombres .r, r soient posilifs, il f:uil (pie l'on ait rO'^- 'il'^. »

1mi réitérant l'opération, il est facile de s'alTrancliir de la condition et de résoudre généralement aussi bien cette question (|ue les suivantes, ce (|ue n'ont pu faire ni Bachet, ni Viète lui-même.

Soient donnés les deux cubes Gl et 12"); on en demande deux autres dont la somme soit égale à la différence des deux cubes donnés.

D'après le procédé donné par Bachet pour son problème 3, page suivante, on cherchera deux antres cubes dont la différence soit égale à

(•(die des deux donnés. Bachet a donné ces deux cubes, .1" " ; et

■y.-io 047

.'"'^ --• Par construction, leur différence est égale à la différence des ■'-00047

deux cubes donnés; mais, après les avoir trouvés par l'opération indi- (|uée pour le probli-me 3, comme le double du moindre ne dépasse pas le plus grand, on peut les transporter dans les données du problème 1.

On aura ainsi deux cubes donnés, cl on en cherchera deux autres dont la somme soit égale à la différence des donnés; la condition iudi- (|uée pour le problème l étant satisfaite, la solution s'obtiendra sans difficulté. Mais la différence des deux cubes trouvés par le problème .'5

[■•os, î'.)9] OBSEKVATIONS SUlt I)I() PUANTE. 2V7

esL 0'^i\\c. à la tliiréreiice dos doux cultes priiuilivoinciit donnos (i'i cl 12); ainsi rien n'empècho de construire doux eiihes doul la soniine soiL égale à la différence des donnés G4 et iiîj.co (|ui sans doute étonnerait Bachot lui-même.

Bien plus, si l'on passe circulairemcnl [)ar les trois problèmes et (|u'on réitère indétiniment les opérations, on aura une infinité de couples de cubes satisfaisant ii la même condition; en eiïot, après avoir trouvé en dernier lieu nos deux cubes dont la somme soit éi^ale à la diiïérence des donnés, nous pouvons (problème 2) en ebereber deux autres dont la diirérencc soit égale ii la somme de nos deux cubes, c'est-à-diro à la diflercnce do ceux primitivement donnés; de la dilTérencc nous repasserons à la somuK^ et ainsi de suite indétiniment.