Diophante, IV

« Résoudre : x, + Xa + .rj = D , .r f -t- j-j = Q , ^i -1- -^3 = D , xj h- .ri = Q . »

O problème peut, peut-être, se résoudre plus élégamment comme suit :

Posons x,^ jc, X2= 2x -h j , en sorte que x1 + x.^ = \j- Pour x^, choisissons arbitrairement le coelficient de x et le terme constant, de façon que j?!; -H iPj = D ; par exemple soit a-, = f\x -+- 3.

On a ainsi satisfait ii deux conditions; il faut encore que l'on ait

■a:"! + -l'a -t- -2^3 = D et x^H-.r, = ^■ Mais

X, + .r, -t- .rj ^ 7 x 4- 4 , j-^ + a-, = i6j;-+ aSx -t- 9,

On a donc une double équation oii les termes constants sont carrés, dont la solution est facile par suite, en ramenant ces termes ;i être égaux à un même carré.

Par le même procédé, on peut étendre le problème à .4 nombres et même ii autant que l'on voudra; il suffît de faire en sorte que la KERHiT. — ni. 32

250 QÎUVRES DE FERMAT. [302, 303]

somme des termes indépendants de x, dans les expressions des divers nombres, fasse un carré; ce qui est très facile.

li. — Diophante, IV, 18.

« Résoudre : .ri -l- .r, -l- jtj = D , .r^ — .r^ = D , -ri — .^3=0, .rj — .r; = D . »

I.e mode de raisonnement que j'ai employé pour la précédente question permet de résoudre également celle-ci et de l'étendre à autant de nombres que l'on voudra.

l.'i. — Diophante, IV, 20.

(I Résoudre : .ri.Ti-i- i = D > .r.>.r3-l- i = lH , .'■j.r, + i = D • "

Soit proposé de trouver trois nombres tels que le produit de deux (|uelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré, et que, de plus, cliacun de ces trois nombres eux-mêmes, augmenté de l'unité, fasse un carré.

J'ajouterai une solution de cette question, qui a déjii été traitée.

Soit une solution indéterminée du présent problème de Uiopbante. choisie de telle sorte que, pouric, et j:.,, les termes indépendants de .r, augmentés chacun d'une unité, fassent des carrés. Soient, par exemple, les trois nombres indéterminés :

iGg i3 722.5 85

11 est clair qu'ils fournissent une solution de ce problème IV, 20; il faut de plus maintenant satisfaire aux conditions

or, H- 1 — n . .T2 -1- 1 =; n , .a-a + > = n .

c'est-à-dire à une triple équation, qu'il sera facile de résoudre par ma méthode, le terme indépendant de x, après l'addition de l'unité, se trouvant carré dans chacune des expressions.

[3U3, 3U5] OBSERVATIONS SLR DIOPHANTE. 251

IG. — Diophante, IV, 21.

« Rcsoiidro : .r,.r2 + i= H , .ri.ra + i = D , .ri-ri + i = D . .ro.r3 + i= n : ■i:i.v<,-i-i= D , .r3.ï;4-i- I = n . »

Cherchez d'ahord trois nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unilc, fasse un carré; soient, par exemple, les nombres 3, i, 8.

Cherchez maintenant un quatrième nombre tel que son produit par chacun des trois nombres déjà trouvés fasse un carré après addition de l'unité. Soit j; ce nombre; on aura

3j;'-|-i = C, xH-i = n, Sx +1 = 11],

triple équation dont la solution s'obtiendra par la méthode que j'ai inventée. Voir ma Note sur le problème VI, 24.