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cl proposés à tous les géomètres clans les actes de Leipsick , lui arrachèrent son secret, et le forcèrent d'avouer au public qu'il était capable de les résoudre.

Le premier fut celui-ci, proposé en 1698 par Bernoulli , professeur en mathématiques à Groningue. « Trouver une courbe telle que toutes ses tangentes » terminées à l'axe , soient toujours en raison donnée » avec les parties de l'axe interceptées entre la courbe » et ces tangentes. » Il ne fut résolu que par Leibnitz en Allemagne , par Bernouili en Suisse , frère de celui qui l'avait proposé , par Huyghens en Hollande, et par l'Hôpital en France.

Huyghens avoue dans les actes de Leipsick , que la difficulté du problème l'avait fait d'abord résoudre k n'y point penser; mais qu'une question si nouvelle avait troublé son repos malgré lui , l'avait persécuté sans relâche, et qu'enfin il n'avait pu y résister. On jugera aisément de quel genre pouvait être en matière de géométrie, ce qui paraissait si difficile à Huyghens.

Tous ceux qui savent au moins les nouvelles des sciences, ont entendu parler du célèbre problême de la plus vite descente. Bernouili de Groningue avait demandé dans les actes de Leipsick , « supposé qu'un » corps pesant tombât obliquement à l'horizon , quelle » était la ligne courbe qu'il devait décrire pour tom- » ber le plus vite qu'il fût possible? » Car, comme il a été dit dans l'histoire de l'académie des sciences de 1699, p. 67, ce paradoxe assez étonnant était démontré, que la ligne droite , quoique la plus courte de toute les lignes qui pouvaient être tirées entre les deux points donnés , n'était point le chemin que le corps devait tenir pour tomber en moins de temps. 11 était certain

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d'ailleurs que la courbe en question n'était point un cercle, comme Galilée l'avait cru; et la méprise d'un si grand homme peut servir à faire sentir la difficulté du problême. BernouUi proposa cette énigme au mois de juin 1696, et donna à tous les mathématiciens de l'Europe le reste de l'année pour y penser. Il vit que ces six mois n'étaient pas suffisans , il accorda encore les quatre premiers de 1697; et dans ces dix mois, il ne parut que c[uatre solutions. Elles étaient de Newton, de Leibnitz , de Bernoulli de Bâle , et du marquis de l'Hôpital. L'Angleterre, l'Allemagne, la Suisse et la France fournirent chacun un géomètre pour ce problême.

On trouve ces mêmes noms à la tête de quelques solutions semblables dans les actes de Leipsick ; et ils y semblent être en possession des connaissances les plus rares et les plus élevées.

On a même rapporté dans l'histoire de 1700, page 78, un problême proposé, comme presque tous les autres , par Bernoulli de Groningue , et qui n'a été résolu que par M. de l'Hôpital. Il s'agissait « de trouver dans un » plan vertical une courbe telle qu'un corps qui la » détruirait, descendant librement, et par son propre » poids, la pressât toujours dans chacun de ses points » avec une force égale à sa pesanteur absolue. » On a tâché de faire sentir alors les différens embarras de ce problême , c'est-à-dire sa beauté*. Les géomètres d'aujourd'hui ne sont pas aisés à contenter sur les difficultés; et ce qui a fait sortir Archimèdedu bain pour crier par les rues de Syracuse, Je l'ai trouvé, ne serait pas pour eux une découverte bien glorieuse.

L'histoire de l'académie de 1699, p. 9.5, a parlé encore d'une solution du marquis de l'Hôpital, où peu d'autres

auraient pu atteindre. Newton , dans son excellent livre des Principes malhématiques de la philcscphie naturelle, a donné la « ligure du solide qui fendrait l'eau, » ou tout autre liquide, avec le moins de difficulté » qu'il fut possible. » Mais il n'a point laissé voir par quel art ni par quelle route il est arrivé à déterminer cette figure. Son secret lui a paru digne d'être caché au public. Fatio, géomètre fameux, se piqua de le découvrir, et il envoya à M. de l'Hôpital une analyse imprimée. Elle contenait cinq grandes pages in-^^^ presque toutes de calcul. M. de l'Hôpital, effrayé de la longueur, et paresseux d'une manière nouvelle, crut qu'il aurait plus tôt fait de chercher lui-même cette solution. Il l'eut effectivement trouvée au bout de deux jours, et elle était simple et naturelle. C'était là un de ses grands talens. Il n'allait pas seulement a la vérité , quelque cachée qu'elle fût, il y allait par le chemin le plus court. Une espèce de fatalité veut qu'en tout genre les méthodes ou les idées les plus naturelles ne soient pas celles qui se présentent le plus naturellement. On se met presque toujours en trop grands frais pour les recherches qu'on a entreprises, et il y a peu de génies heureusement avares qui n'y fassent que la dépense absolument nécessaire. Ce n'est pas qu'il ne faille de la richesse et de l'abondance pour fournir aux dépenses inutiles; mais il n'y a plus d'art à les éviter , et même plus de véritable richesse.

Il serait trop long de rapporter ici tous les chefsd'œuvre de géométrie dont M. de l'Hôpital et le petit nombre de ses pareils ont embelli les journaux ou d'Allemagne ou de France. On soupçonnera sans doute «jue , paur entrer dans ces questions qui leur étaient

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réservées, ils devaient avoir, outre leur génie naturel, quelque clef particulière qui ne fût qu'entre leurs mains. Ils en avaient une en effet, et c'était la géométrie des infiniment petits , ou du calcul différentiel , inventée par Leibnilz, et en même temps aussi par Newton, et toujours ensuite perfectionnée et par eux , et par Bernoulli , et par M. de l'Hôpital.

L'illustre Huyghens , qui n'était point l'inventeur du calcul différentiel comme Leibnitz , qui ne l'avait point employé dans toutes ses études géométriques comme M. de l'Hôpital et Bernoulli, qui était parvenu sans ce secours à des théories très élevées, et s'était fait une réputation des plus brillantes, qui pouvait , à la manière des autres hommes , et peut-être plus légitimement, mépriser ce qu'il ne connaissait point, et traiter d'inutile ce qui ne lui avait pas été nécessaire pour ses grands ouvrages, avait jugé cependant, etpar le mérite tle cette méthode , et par les miracles qu'il en voyait sortir, qu'elle était digne qu'il l'étudiàt. Il avait été assez grand homme pour avouer qu'il pouvai t encore apprendre quelque chose en géométrie : il s'était adressé à M. de l'Hôpital, qui avait presque la moitié moinsd'âge que lui, pour s'instruire du calcul différentiel; et sans doute ce trait de la vie de M. de l'Hôpital est encore plus glorieux à Huyghens qu'à lui.

Ce n'est pas que Huyghens ne connût déjà par luimême le pays de l'infini , où l'on est conduit à chaque moment par le calcul différentiel ; il avait été obligé de pénétrer jusque-là dans quelques unes de ses plus subtiles recherches, surtout dans celles qu'il avait faites pour l'invention immortelle de la pendule : car la fine géométrie ne peut aller loin sans percer dans l'infini.

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Mais il y a bien de la différence entre savoir en général la carte d'un pays , ou en connaître en particulier toutes les routes,- et jusqu'à ces petits sentiers qui épargnent tant de peines aux voyageurs.

Huyghens était alors en Hollande , où il s'était retiré après avoir quitté Paris , et l'académie des sciences , dont il était un des principaux ornemens. Il parait par beaucoup de lettres de lui , qu'on a trouvées dans les papiers de M. de l'Hôpital , et surtout par celles qui sont des années 1692 et 1698, qu'il consultait à M. de l'Hôpital ses difficultés sur le calcul différentiel; que quand quelque chose l'arrêtait , il ne s'en prenait pas à la méthode, mais à ce qu'il ne la possédait pas assez ; qu'il voyait avec surprise et avec admiration rétendue et la fécondité de cet art ; que de quelque coté qu'il tournât sa vue , il en découvrait de nouveaux usaees ; quenjin, ce sont ses termes , il y concevait un prccrès et une spéculation injinie. Il a même déclaré publiquement dans les actes de Leipsick , que sans une équation différentielle , il ne serait pas venu à bout de trouver la courbe , dont les tangentes et les parties de l'axe sont toujours en raison donnée. « Et même ajoute-t-il dans les mêmes actes , il » faut remarquer dans ce problême une analyse nou- » velle et singulière , qui ouvre le chemin à quantité » de choses sur la théorie des tangentes , comme l'a » très bien observé l'illustre inventeur d'un calcul, » sans lequel nous aurions bien de la peine à être admis » dans une si profonde géométrie. » Il écrivit en même temps à M. de l'Hôpital, qu'il devait à ses enseignemens cette équation différentielle qui lui avait donné le dénoûment du problême.

Jusques-là la géométrie des infiniment petits n'était

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encore qu'une espèce de mystère, et, pour ainsi dire, une science cabalistique renfermée entre cinq ou six personnes. Souvent on donnait dans les journaux les solutions, sans laisser paraître la méthode qui les avait produites; et lors même qu'on la découvrait, ce n'étaient que quelques faibles rayons de cette science qui s'échappaient, et les nuages se refermaient aussitôt. Le public, ou, pour mieux dire, le petit nombre de ceux qui aspiraient à la haute géométrie , étaient frappés d'une admiration inutile qui ne les éclairait point, et l'on trouvait moyen de s'attirer leurs applaudissemens, en retenant l'instruction dont on aurait dû les payer.

M. de l'Hôpital résolut de communiquer sans réserve les trésors cachés de la nouvelle géométrie , et il le fit dans le fameux livre de V Analyse des infinimerd petits qu'il publia en 1696. Là furent dévoilés tous les secrets de l'infini géométrique, et de l'infini de l'infini ; en un mot, de tous ces différens ordres d'infinis, qui s'élèvent les uns au-dessus des autres, et forment l'édifice le plus hardi que l'esprit humain ait jamais osé imaginer.

Comme il y a des rapports déterminés entre les grandeurs finies, qui sont l'unique objet des recherches mathématiques, et les grandeurs de ces différens ordres d'infinis , on parvient par la voie de l'infini à des connaissances sur le fini, où ne pourrait jamais atteindre toute autre méthode , qui n'aurait pas l'audace, et en même temps l'adresse de manier l'infini. Le livre des infiniment petits fut donc tout brillant de vérités inconnues à la géométrie ancienne, et non-seulement inconnues, mais souvent inaccessibles à cette géométrie. Les anciennes vérités s'y trouvaient comme perdues dans

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la foule des nouvelles, et la facilité avec laquelle on les voyait naître, faisait regretter les efforts qu'elles avaient autrefois coûtés à leurs inventeurs. Des démonstrations qui par d'autres méthodes auraient demandé un circuit immense, en cas qu'elles eussent été possibles , ou qui même entre les mains d'un autre géomètre instruit de la même méthode , auraient encore été longues et embarrassées, étaient d'une simplicité et d'une brièveté qui les rendaient presque suspectes.

Tel est l'effet des méthodes générales, quand on a une fois su les découvrir. On est h la source, et on n'a plus qu'à se laisser aller au cours paisible des conséquences. Une seule règle du livre de M. de l'Hôpital donne des tangentes de toutes les courbes imaginables ; une autre, toutes les plus grandes ou plus petites appliquées, ou tous les points d'inflexion et de rebroussement , ou toutes les développées, ou toute la catoptrique à la fois, ou toute la dioptrique. Des traités entiers faits par de grands auteurs, se réduisent quelquefois à quelques corollaires que l'on rencontre en chemin , et qu'on distingue à peine dans la multitude; tout se rapporte à des espèces de systèmes que M. de l'Hôpital a commencé a mettre dans la géométrie, et (jui vont y répandre un nouveau jour.

Il y a , surtout en mathématiques , plus de bons livres , qu'il y en a de bien faits ; c'est-à-dire , qu'on en voit assez qui peuvent instruire, et peu qui instruisent avec une certaine méthode, et pour ainsi dire , avec un certain agrément. C'est bien assez d'avoir une bonne matière entre les mains, on se néglige sur la forme. M. de l'Hôpital adonné un livre aussi bien fait que bon; il a eu l'art tle ne faire d'une infinité de choses qu'un

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assez petit volume ; il y a mis cette brièveté et cette netteté si délicieuse pour l'esprit , l'ordre et la précision des idées l'ont presque dispensé d'employer des paroles : il n'a voulu que faire penser , plus soigneux d'exciter les découvertes d'autrui, que jaloux d'étaler les siennes.

Aussi cet ouvrage a-t-ilété reçu avec un applaudissement universel : car l'applaudissement est universel quand on peut très facilement compter dans toute l'Europe les suffrages qui manquent : et il doit toujours en manquer quelques uns aux choses nouvelles et originales, surtout quand elles demandent à être bien entendues. Ceux qui remarquent les événemens de l'histoire des sciences, savent avec quelle avidité l'analyse des infiniment petits a été saisie par tous les géomètres nais- .sans, à qui l'ancienne et la nouvelle méthode sont indifférentes, et qui n'ont d'autre intérêt que celui d'être instruits. Comme le dessein de l'auteur avait été principalement de faire des mathématiciens, etde jeter dans les esprits les semences de la haute géométrie, il a eu le plaisir de voir qu'elles y fructifiaient tous les jours , etque des problêmes réservés autrefois à ceuxqui avaient vieilli dans les épines des mathématiques , devenaient des coups d'essai de jeunes gens. Apparemment la révolution deviendra encore plus grande , e t il se serai t trouvé avec le temps autant de disciples qu'il y eut eu de mathématiciens.

Après avoir vu l'utilité dont était son livre des infiniment petits , il s'était engagé dans un autre travail aussi propre à faire des géomètres. Il embrassait dans ce dessein les sections coniques, les lieux géométriques, la construction des équations , et une théorie des courbe-i

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mécaniques. C'était proprement le plan de la géométrie de Descartes , mais plus étendu et plus complet. Il ne prétendait pas que cet ouvrage fût aussi original ni aussi sublime que le premier. Il aurait pu tourner ses recherches du côté du calcul intégral, qui suit et qui suppose le différentiel, qui a de plus grandes difficultés, et jusqu'à présent insurmontables , et qui par-là occupe aujourd'hui les plus grands géomètres , et est devenu l'objet de leur ambition; mais il avait préféré une entreprise dont le public devait tirer une instruction plus générale et plus nécessaire , et le zèle de la géométrie l'avait emporté sur l'intérêt de sa gloire. Cependant je suis témoin qu'il ne pouvait s'empêcher de regretter le calcul intégral.

Cet ouvrage était presque fini , lorsqu'au commencement de 1704 il fut attaqué d'une fièvre qui ne paraissait d'abord aucunement dangereuse; mais comme on vit qu'elle résistait à tous les différens remèdes qu'on employait, on commença à craindre , etle malade n'attendit pas un plus grand péril pour songer à la mort. 11 s'y disposa d'une manière très édifiante , et enfin il tomba dans une apoplexie, dont il mourut le lendemain 2 février, âgé de quarante-trois ans.

Quelques uns ont attribué sa mort aux excès qu'il avait faits dans les mathématiques ; et ce qui pourrait le confirmer , j'ai su de lui-même que souvent des matinées qu'il avait destinées à cette étude , étaient devenues des journées entières sans qu'il s'en aperçût. Il avait voulu y renoncer pour le soin de sa santé, mais il n'avait jamais pu soutenir cette privation plus de quatre jours. De plus, il sera assez naturel de croire qu'il avait dû faire de grands efforts d'esprit , quand on songera

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à quel point il était parvenu à l'âge de quarante-trois ans, et combien de temps, dans une vie si courte, avait été perdu pour les mathématiques. Il avait servi; il était d'une naissance qui l'engageait à un grand nombre de devoirs ; il avait une famille , des soins domestiques, un bien très considérable à conduire , et par conséquent beaucoup d'affaires ; il était dans le commerce du monde, et il y vivait à peu près comme ceux dont cette occupation oisive est la seule occupation ; il n'était pas même ennemi des plaisirs : voilà bien des distractions ; et quelque rare talent qu'on lui suppose pour les mathématiques , il est impossible qu'une prodigieuse application n'ait suppléé au peu de temps. Ce pendant il n'ajamais paru que l'étude ait altéré sa santé; il avait l'air de la meilleure et de la plus ferme constitution qu'on puisse désirer. Il n'était nullement sombre ni rêveur ; au contraire assez porté à la joie, et il semblait n'avoir payé par rien ce grand génie mathématique .

On sentait dans ses discours les plus ordinaires la justesse, la solidité, en un mot la géométrie de son esprit; il était d'un commerce facile, et d'une probité parfaite, ouvert et sincère, convenant de ce qu'il l'était, parce qu'il l'était, et n'en tirant nul avantage, véritable modestie d'un grand homme ; prompt à déclarer qu'il ignorait, et à recevoir des instructions, même en matière de géométrie, s'il lui était possible d'en recevoir; nullement jaloux , et non par la connaissance de sa supériorité , mais par son équité naturelle : car, sans cette équité , ceux qui se croient , et qui sont même les plus supérieurs aux autres, sont encore jaloux.

Il avait épousé Marie-Charlotte de Romilley de la Chesnelaye , demoiselle d'une ancienne noblesse de

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Bretagne, et dont il a eu de grands biens. Leur union

a été jusqu'au point qu'il lui a fait part de son génie

pour les mathématiques. Il en a laissé un fils et ti'ois

filles.

DE BERNOULLl.

Jacques Ber":oulli naquit à Bâle le 27 décembre 1664. 11 était fils de Nicolas Bernoulli, qui avait des charges considérables dans sa république. Un des frères de celui dont nous parlons était encore plus élevé en dignité que son père.

Bernoulli reçut l'éducation ordinaire de son temps; on le destinait à être ministre, et on lui apprit du latin , du grec, de la philosophie scolastique , nulle géométrie : mais dès qu'il eut vu par hasard des figures géométriques, il en sentit le charme, si peu sensible pour la plupart des esprits. A peine avait-il quelque livre de mathématiques, encore n'en pouvait-il jouir qu'à la dérobée : à plus forte raison il n'avait pas de maître ; mais son goût, joint à un grand talent , fut son précepteur. Il alla même jusqu'à l'astronomie ; et comme il avait toujours à vaincre l'opposition de son père qui avait d'autres vues sur lui, il exprima sa situation par une devise, où il représentait Phaëton conduisant le char du Soleil, avec des mots latins qui signifiaient, y> suis parmi 1rs astres malpré nicv père.

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11 n'avait que dix-huit ans , et n'était presque encore mathématicien que parsa violente inclination pour les mathématiques, lorsqu'il résolut ce problème chronologique assez difficile, où les années du cycle solaire, du nombre d'or et del'indiction étant données, il s'agit de trouver l'année de la période julienne.

A vingt-deux ans il se mit à voyager. Etant à Genève, il apprit à écrire à une fille qui avait perdu la vue deux mois après sa naissance, et il imagina pour cela un moyen nouveau, parce qu'il avait reconnu, et par raisonnement, et par expérience , l'inutilité de celui que Cardan a proposé. A Bordeaux , il fit des tables gnomoniques universelles , qui sont présentement prêtes à imprimer. Après avoir vu la France , il revint chez lui en 1680. La il commença à étudier la philosophie de Descartes. Cette excellente lecture l'éclaira plus qu'elle ne le persuada,, et il tira de ce grand auteur assez de force pour pouvoir ensuite le combattre hiimême.

Heureusement à la fin de 1680 il parut un phénomène propre à exercer un philosophe naissant. C'était cette comète qui a fait naître des ouvrages fameux , et entre autres le premier que Bernoulli ait donné au public. Il l'intitula : Ccnamen ncvi systemalis ccmetarum , pro mctu ecrum. sue calculum revocando , et apparilîcnihiis prœdicendis . Il suppose que les comètes sont des satellites d'une même planète, si élevée au-dessus de Saturne , quoique placée dans le tourbillon du soleil , qu'elle est toujours invisible à nos yeux, et que ces satellites ne deviennent visibles que quand ils sont, par rapporta nous, dans la partie la plus basse de leur cercle. De la il conclut que les comètes sont des corps

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éternels, et que leurs retours peuvent être prédits; ce qui est aussi la pensée de Cassini, La comète de 1680 doit, selon le système et le calcul de Bernoulli , reparaître en 1 7 1 9 le 17 mai dans le premier degré 1 2 de la balance. Voilà une prédiction bien hardie par l'exactitude des circonstances.

Ici je ne puis m'empécher de rapporter une objection qui lui fut proposée très sérieusement , et à laquelle il daigna répondre de même : c'est que si les comètes sont des astres réglés, ce ne sont donc plus des signes extraordinaires de la colère du ciel. Il essaie plusieurs réponses différentes, et enfin il en vient jusqu'à dire que la tète de la comète qui est éternelle n'est pas un signe, mais que la queue en peut être un, parce que, selon lui, elle n'est qu'accidentelle; tant il fallait encore avoir de ménagemens pour cette opinion populaire, il y a vingt-cinq ans. Maintenant on est dispensé de cet égard ; c'est-à-dire, que le gros du monde est guéri sur le fait des comètes, et que les fruits de la saine philosophie se sont répandus de proche en proche. Il serait assez bon de marquer , quand on le pourrait , l'époque de la fin des erreurs qu'elle a détruites.

En 1682 , Bernoulli publia sa dissertation de graviiate œlheris. Il n'y traite pas seulement de la pesanteur de l'air si incontestable et si sensible par le baromètre, mais principalement de celle de l'éther , ou d'une matière beaucoup plus subtile que l'air que nous respirons. C'est à la pesanteur et à la pression de cette matière qu'il rapporte la dureté des corps. Il proteste dans sa préface , qu'en imaginant ce système, il ne se souvenait point de l'avoir lu dans le célèbre ouvrage de la Recherche de la Vérité; et il s'applaudit d'être tombé

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dans la même pensée que le P. Mallebranche , et ce qui est encore plus remarquable , d'y élre arrivé par le même chemin.

Comme l'alliance de la géométrie et de la physique fait la plus grande utilité de la géométrie, et toute la solidité de la physique , il forma des assemblées et une espèce d'académie, où il faisait des expériences qui étaient ou le fondement ou la preuve des calculs géométriques ; et il fut le premier qui établit dans la ville de Bàle cette manière de philosopher, la seule raisonnable, et qui cependant a tant tardé à paraître.

Il pénétrait déjà dans la géométrie la plus abstruse , et la perfectionnait par ses découvertes, à mesure qu'il l'étudiait, lorsqu'en 1684 la face delà géométrie changea presque tout a coup. L'illustre Lcibnitz donna dans les actes de Leipsick quelques essais du nouveau calcul différentiel, ou des infiniment petits, dont il cachait l'art et la méthode. Aussitôt les Bcrnoulli, car BernouUi, l'un de ses frères et son cadet, fameux géomètre, a la même part à cette gloire , sentirent par le peu qu'ils voyaient de ce calcul quelle en devait être rétendue et la beauté : ils s'appliquèrent opiniâtrement à en chercher le secret, et à l'enlever à l'inventeur; ils y réussirent, et perfectionnèrent cette méthode, au point que Leibnitz, par une sincérité digne d'un grand homme, a déclaré qu'elle leur appartenait autant qu'à lui. C'est ainsi que le moindre rayon de vérité qui s'échappe au travers de la nue , éclaire suffisamment les grands esprits, tandis que la vérité entièrement dévoilée ne frappe pas les autres.

La patrie de BernouUi rendit justice à un citoyen qui l'honorait tant, et en 1687 il fut élu, par un consente-

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meni unanime, professeur en mathématiques dans l'uni versité de Bàle. Alors il fit paraître un nouveau talent; c'est celui d'instruire. Tel est capable d'arriver au plus hautes connaissances , qui n'est pas capable d'y conduire les autres; et il en coûte quelquefois plus à l'esprit pour redescendre, que pour continuer à s élever. Bernoulli, par l'extrême netteté de ses leçons, et par les grands progrès qu'il faisait faire en peu de temps, attira à Bàle un grand nombre d'auditeurs étrangers.

Les exercices que demandait sa place de professeur, produisirent entre autres fruits tout ce qu'il a donné sur les séries ou suites infinies des nombres. Il s'agit de trouver ce que vaut la somme d'une infinité de nombres réglés selon quelque ordre ou quelque loi , et sans doute la géométrie ne montre jamais plus d'audace que quand elle prétend se rendre maîtresse de l'infini même, et le traiter comme le fini. Par-là on découvre des rectifications, ou des quadratures de courbes; car toutes les courbes peuvent passer poiu' des suites infinies de lignes droites infiniment petites , et les espaces qu'elles comprennent pour une infinité d'espaces infiniment petits , tous terminés par des lignes droites. Tantôt on trouve que ces suites qui comprennent une infinité de termes, ne valent néanmoins qu'un certain terme fini, et alors les courbes qu'elles représentent sont ou rectifiables ou carrables ; tantôt on trouve que ces suites se perdent dans leur infini, et se dérobent absolument au calcul , et en ce cas-là les longueurs des courbes ou leurs espaces échappent aussi à nos recherches. Archimède paraît avoir été le premier qui ait trouvé la somme d'une progression géométrique infinie , décroissante , et parlà , il découvrit très ingénieusement la quadrature de

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la parabole. Wallis, célèbre mathématicien anglais, a composé sur ces suites son Arithmétique des infinis , et après lui, Leibnitz et Bernoulli poussèrent encore cette théorie beaucoup plus loin.

Mais le travail le plus assidu de Bernoulli eut pour objet le calcul des infiniment petits, et les recherches où il était nécessaire. Lui et le petit nombre de ses pareils avaient découvert comme un nouveau monde inconnu jusque-là, d'un abord difficile, même dangereux , d'où l'on rapportait des richesses immenses , que l'on n'eut pas trouvées dans l'ancien. Déjà en faisant l'éloge de feu le marquis i^e l'Hôpital , nous avons fait en partie celui de BernouLi , parce qu'ils ont souvent donné par la méthode qui leur était commune, la solution des mêmes problèmes , où toute autre méthode n'aurait point de prise. Nous ne répéterons point ici ce qui a été dit; nous ajouterons seulement quelques unes des découvertes particulières de Bernoulli.

Le calcul différentiel étant supposé , on sait combien est nécessaire le calcul intégral , qui en est , pour ainsi dire, le renversement ; car cpmme le calcul différentiel descend des grandeurs finies à leurs infiniment petits , ainsi le calcul intégral remonte des infiniment petits aux grandeurs finies ; mais ce retour est difficile, et jusqu'à présent impossible en certains cas. En 1691, Bernoulli doima deux essais du calcul intégral , les premiers qu'on eût encore vus, et ouvrit cette nouvelle carrière aux géomètres. Ces deux essais regardaient la rectification et la quadrature des deux différentes espèces de spirales , et l'une est formée par les extrémités des ordonnées d'une parabole ordinaire , dont Taxe se» rait roulé en cercle ; l'autre est la spirale logarithmique,

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qui fait toujours le même angle avec ces ordonnées concourantes à son centre. Et comme la courbe appelée loxotlromique , décrite par un vaisseau qui suit toujours le même rhumb du vent, fait aussi toujours le même angle avec tous les méridiens, il s'ensuit que, si les méridiens étaient des lignes droites concourantes au pôle, la loxodromique deviendrait la spirale logarithmique. De là BernouUi prit occasion de passer de la spirale logarithmique à la loxodromique , et découvrit beaucoup de choses nouvelles et fort curieuses par rapport aux longitudes et à la navigation.

En ce temps-là , le problême de la chatneite qu'il avait proposé, faisait beaucoup de bruit parmi les grands géomètres. C'est la courbure que doit prendre une chaîne attachée fixement par ses deux extrémités , également pesantes en toutes ses parties, et dont chaque partie est tirée en bas par son propre poids, et en même temps retenue par les points fixes. Après que Leibnitz, Huyghcns et Bernoulli son frère eurent résolu le problême , et déterminé cette courbure , il prouva en 1692 qu'elle était la même que celle d'une voile enflée par le vent. Et comme il commençait alors ses recherches et ses découvertes sur la courbure que prendrait une lame à ressort dont une extrémité serait attachée fixement sur un plan, et l'autre porterait un poids, il fit voir que , si cette même voile qui , enflée par un vent horizontal , se courberait en chaînette , était enflée par un liquide qui pesât sur elle verticalement, elle se courberait connue une lame à ressort ou en élastique, car c'est le nom qu'il donne à cette courbe. Ces déterminations ne sont pas de sinq^les jeux de géométrie , estimables seulement par leur difficulté ; elles