DES INFINIMENT PETITS

DU

MARQUIS DE L'HOPITAL

L'analyse qu'on explique dans cet ouvrage, suppose la commune; mais elle en est fort différente. L'analyse ordinaire ne traite que des grandeurs finies; celle-ci pénètre jusques dans l'infini njèrne. Elle compare les différences infiniment petites de grandeurs finies; elle découvre les rapports de ces différences; et par là elle lait connaître ceux des grandeurs finies qui , comparées avec ces infiniment petits , sont comme autant d'infinies. On peut même dire que cette analyse s'étend au-delà de l'infini; car elle ne se borne pas aux différences infiniment petites , mais elle découvre les rapports des différences de ces différences , ceux encore des différences ti'oisièmes , quatrièmes, et ainsi de suite, sans trouver jamais le terme qui la puisse arrêter; de sorte qu'elle n'embrasse pas seulement l'infini , mais l'infini de l'infini , ou une infinité d'infinis.

Lue analyse de cette nature pouvait seulement nous conduire jusqu'aux véritables principes des lignes courbes ; car les courbes n'étant que des polygones d'une infinité de côtés , et ne différant entre elles que

par la différence des angles que ces côtés infiniment petits font entre eux , il n'appartient qu'à l'analyse des infiniment petits de déterminer la position de ces côtés pour avoir la courbure qu'ils forment, c'est-à-dire les tangentes de ces courbes , leurs perpendiculaires , leurs points d'inflexion ou de rebroussement , les rayons qui s'y réfléchissent, ceux qui s'y rompent, etc.

Les polygones inscrits ou circonscrits aux courbes , qui , par la multiplication infinie de leurs côtés , se confondent enfin avec elles , ont été pris de tout temps pour les courbes mêmes ; mais on en était demeuré là. Ce n'est que depuis la découverte de l'analyse dont il s'agit ici , que l'on a bien senti l'étendue et la fécondité de cette idée.

Ce que nous avons des anciens sur ces matières, principalement d'Archimède , est assurément digne d'admiration. Mais, outre qu'ils n'ont touché qu'à fort peu de courbes, qu'ils n'y ont même touché que légèrement , ce ne sont presque partout que des propositions particulières et sans ordre , qui ne font apercevoir aucune méthode régulière et suivie. Ce n'est pas cependant qu'on leur en puisse faire un reproche légitime : ils ont eu besoin d'une extrême force de génie pour percer à travers de tant d'obscurités , et pour entrer les premiers dans des pays entièrement inconnus. S'ils n'ont pas été loin, s'ils ont marché par de longs circuits, du moins, quoi qu'en dise Viette , ils ne se sont point égarés ; etplus les chemins qu'ils ont tenus étaient difficiles et épineux, plus ils sont admirables de ne s'y être pas perdus. En un mot , il ne paraît pas que les anciens en aient pu faire davantage pour leur temps ; ils ont fait ce que nos bons esprits auraient fait en leur

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place; et , s'ils étaient à la nôtre , il est à croire qu'ils auraient les mêmes vues que nous. Tout cela est une suite de l'égalité naturelle des esprits et de la succession nécessaire des découvertes.

Ainsi, il n'est pas surprenant que les anciens n'aient pas été plus loin ; mais on ne saurait assez s'étonner que de grands hommes , et sans doute d'aussi grands hommes que les anciens , en soient si long-temps demeurés là, et que, par une admiration presque superstitieuse pour leurs ouvrages, ils se soient contentés de les lire et de les commenter, sans se permettre d'autre usage de leurs lumières , que ce qu'il en fallait pour les suivre , sans oser commettre le crime de penser quelquefois par eux-mêmes , et de porter leurs vues au-delà de ce que les anciens avaient découvert. De cette manière, bien des gens travaillaient , ils écrivaient ; les livres se multipliaient, et cependant rien n'avançait : tous les travaux de plusieurs siècles n'ont abouti qu'à remplir le monde de respectueux commentaires, et de traductions répétées d'originaux souvent assez méprisables.

Tel fut l'état des mathématiques , et surtout de la philosophie jusqu'à Descartes. Ce grand homme, poussé par son génie et par la supériorité qu'il se sentait, quitta les anciens pour ne suivre que cette même raison que les anciens avaient suivie ; et cette heureuse hardiesse , qui fut traitée de révolte, nous valut une infinité de vues nouvelles et utiles sur la physique et sur la géométrie. Alors on ouvrit les yeux , et l'on s'avisa de penser.

Pour ne parler que des mathématiques, dont il est seulement ici question , Descartes commença où les anciens avaient fini , cl il dobutapar la sokitiond'unpro-

blême , où Pappus dit qu'ils étaient tous demeui'és. Ou sait jusqu'où il a porté l'analyse et la géométrie, et combien l'alliage qu'il en a fait rend facile la solution d'une infinité de problèmes, qui paraissaient impénétrables avant lui. iNIais, comme il s'appliquait principalement à la résolution des égalités , il ne fit d'attention aux courbes qu'autant qu'elles lui pouvaient servir à en trouver les racines , de sorte que l'analyse ordinaire lui suffisant pour cela , il ne s'avisa point d'en chercher d'autre. Il n'a pourtant pas laissé de s'en servir heureusement dans la recherche des tangentes, et la méthode qu'il découvrit pour cela lui parut si belle , qu'il ne fit point difficulté de dire que ce prclUme était h plus utile et le plus général , ncn- seulement qu'il sût, mais même qu il eût jamais désiré de savoir en eécmétrie.

Comme la géométrie de Descartes avait mis la construction des problèmes par la résolution des égalités fort à la mode , et qu elle avait donné de grandes ouvertures pour cela, la plupart des géomètres s'y appliquèrent ; ils V firent aussi de nouvelles découvertes , qui s'augmentent et se perfectionnent encore tous les jours.

Pour Pascal , il tourna ses vues de tout un autre côté. Il examina les courbes en elles-mêmes et sous la forme de polvgones ; il rechercha les longueurs de quelques unes, l'espace qu'elles renferment, le solide que ces espaces décrivent , les centres de gravité des unes et des autres, etc. ; et par la considération seule de leurs élémens , c'est-à-dire des infiniment petits , il découvrit des méthodes générales , et d'autant plus surprenantes, qu'il ne paraît y être arrivé qu'à force de tête et sans analyse.

Peu de temps après la publication de la méthode de

Descaries pour les tangentes , de Fermât en trouva aussi une, que Descartes a enfin avoué lui-même être plus iimple , en bien des rencontres, que la sienne. Il est pourtant vrai qu'elle n'était pas encore aussi simple que Barrow l'a rendue depuis, en considérant de plus près la nature des polygones, qui présentent naturellement à l'esprit un petit triangle fait d'une particule de courbe , comprise entre deux appliquées infiniment proches , de la différence de ces deux appliquées et de celle des coupées correspondantes; et ce triangle est semblable à celui qui se doit former de la tangente, de 1 appliquée , et de la sous-tangente; de sorte que par une simple analogie , cette dernière méthode épargne tout le calcul que demande celle de Descartes, et que cette méthode elle-même demandait auparavant.

Barrow n'en demeura pas là ; il inventa aussi une espèce de calcul propre à cette méthode ; mais il lui fallait, aussi bien que dans celle de Descartes, ôter les tractions , et faire évanouir tous les signes radicaux pour s'en servir.

Au défaut de ce calcul, est survenu celui du célèbre Leibnitz , et ce savant géomètre a commencé où Barrow et les autres avoient fini. Son calcul l'a mené dans des pays jusqu'ici inconnus, et il v a fait des découvertes qui font l'étonnement des plus habiles mathématiciens de l'Europe. MM. Bernoulli ont été les premiers qui se sont aperçus de la beauté de ce calcul ; ils l'ont porté à un point qui les a mis en état de surmonter des difficultés qu'on n'aurait jamais osé tenter auparavant.

L'étendue de ce calcul est immense : il convient aux courbes mécaniques comme aux géométriques; les signes radicaux lui sont indifférens , et même souvent

commodes ; il s'étend à tant d'indéterminées qu'on voudra ; la comparaison des infiniment petits de tous les genres lui est également facile. Et de là naissent une infinité de découvertes surprenantes par rapport aux tangentes tant courbes que droites, aux questions de maximis et minimis , aux points d'inflexion et de rebroussement des courbes , aux développées , aux caustiques , par réflexion ou par réfraction , etc. , comme on le verra dans cet ouvrage.

Je le divise en dix sections. La première contient les principes du calcul desdiff'érences.La seconde fait voir de quelle manière l'on s'en doit servir pour trouver les tangentes de toutes sortes de courbes , quelques nombres d'indéterminées qu'il y ait dans l'équation qui les exprime , quoique Craige n'ait pas cru qu'il pût s'étendre jusqu'aux courbes mécaniques ou transcendantes. La troisième , comment il sert à résoudre toutes les questions d£ maximis et m.inimis. La quatrième, comment il donne les points d'inflexion et de rebroussement des courbes. La cinquième en découvre l'usage pour trouver les développées de Huyghens dans toutes sortes de courbes. La sixième et la septième font voir comment il donne les caustiques, tant par réflexion que par réfraction , dont l'illustre Tschiiiihaus est l'inventeur, et pour toutes sortes de courbes encore. La buitième en fait voir encore l'usage pour trouver les points de lignes courbes qui touchent une infinité de lignes données de position, droites ou courbes. La neuvième contient la solution de quelques problèmes qui dépendent des découvertes précédentes. Et la dixième consiste dans une nouvelle manière de se servir du calcul des différences pour les courbes géométriques ;

d'où l'on déduit la méthode de Descartes et Hudde , laquelle ne convient qu'à ces sortes de courbes.

Il est à remarquer que , dans les sections 2,3, 4 , 5 , 6, 7 , 8, il n'y a que très peu de propositions; mais elles sont toutes générales, et comme autant de méthodes dont il est aisé de faire l'application à tant de propositions particulières qu'on voudra : je la fais seulement sur quelques exemples choisis , persuadé qu'en fait de mathématiques , il n'y a à profiter que dans les méthodes , et que les livres qui ne consistent qu'en détails ou en propositions particulières , ne sont bons qu'à faire perdre du temps à ceux qui les font et à ceux qui les lisent. Aussi n'ai-je ajouté les problêmes de la section neuvième , que parce qu'ils passent pouj' curieux, et qu'ils sont très universels. Dans la dixième section , ce ne sont encore que des méthodes que le calcul des différences donne à la manière de Descartes et Hudde ; et si elles sont si limitées, on voit par toutes les précédentes , que ce n'est pas un défaut de ce calcul , mais de la méthode cartésienne à laquelle on l'assujétit. Au contraire , rien ne prouve mieux l'usage immense de ce calcul , que toute cette variété de méthodes ; et , pour peu d'attention qu'on y fasse, l'on verra qu'il tire tout ce qu'on peut tirer de celle de Descartes et Hudde , et que la preuve universelle qu'il donne de l'usage qu'on y fait des progressions arithmétiques , ne laisse plus rien à souhaiter pour l'infaillibilité de cette dernière méthode.

J'avais dessein d'y ajouter encore une section , pour faire sentir aussi le merveilleux usage de ce calcul dans la physique , jusqu'à quel point de précision il la peut porter, et combien les mécaniques en peuvent tirer

d'utilité ; mais une maladie m'en a empêché : le publie n'y pei'dra pourtant rien, et il l'aura quelque jour, même avec usure.

Dans tout cela, il n'y a encore que la première partie du calcul de Leibnitz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entières à leurs différences infiniment petites, de quelque genre qu'elles soient ; c'est ce qu'on appelle calcul différentiel. Pour l'autre partie , qu'on appelle calcul intégral , et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs et aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avais aussi dessein de le donner. Mais Leibnitz m'ayant écrit qu'il y travaillait dans un traité qu'il intitule de Scienliâ Injiniti,\e n'ai eu garde de priver le public d'un si bel ouvrage , qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la méthode inverse des tangentes, pour les rectifications des courbes , pour la quadrature des espaces qu'elles renferment , pour celle des surfaces des corps qu'elles décrivent, pour la dimension de ces corps , pour la découverte des centres de gravité , etc. Je ne rends même ceci public, que parce qu'il m'en a prié par ses lettres, et que je le crois nécessaire pour préparer les esprits à comprendre tout ce qu'on pourra découvrir dans la suite sur ces matières.

Au reste, je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. BernouUi, surtout à celles du jeune , présentement professeur à Groningue; je me suis servi sans, iaçon de leurs découvertes et de celles de Leibnitz. C'est pourquoi je consens qu'ils en revendiquent tout ce qu'il leur plaira , me contentant de ce qu'ils voudront bien me laisser.

C'est encore une justice due au savant Newton , et

que Leibiiiu lui a rendue lui-même, qu'il avait aussi trouvé quelque chose de semblable au calcul différentiel, comme il paraît par l'excellent livre intitulé: Pkilcscphiœ naturalis principia malhematica^ qu'il nous donna eu 1687, lequel est presque tout de ce calcul. Mais la caractéristique de Leibnitz rend le sien beaucoup plus facile et plus expéditif, outre qu'elle est d'un secours merveilleux en bien des rencontres.

Comme l'on imprimait la dernière feuille de ce traité, le livre de Niemventyt m'est tombé entre les mains. Son titre , Analysis Injinitcrum , m'a donné la curiosité de le parcourir; mais j'ai trouvé qu'il était fort différent de celui-ci : car, outre que cet auteur ne se sert point de la caractéristique de Leibnitz , il rejette absolument les différences secondes, troisièmes, etc. Comme j'ai bâti la meilleure parti de cet ouvrage sur ce fondement, je me croirais obligé de répondre à ces objections , et de faire voir combien elles sont peu solides , si Leibnitz n'y avait déjà pleinement satisfait dans les actes de Leipsick. D'ailleurs les deux demandes ou suppositions que j'ai faites au commencement de ce traité, et sur lesquelles seules il est appuyé, me paraissent si évidentes , que je ne crois pas qu'elles puissent laisser aucun doute dans l'esprit des lecteurs attentifs. Je les aurais même pu démontrer à la manière des anciens , si je ne me fusse proposé d'être court sur les choses qui sont déjà connues, et de m'attacher principalement à celles qui sont nouvelles.