DE L'INFINI

JLes premiers géomètres n'avaient encore fait que très peu de chemin , lorsqu'ils s'aperçurent que le côté d'un carré et sa diagonale étaient incommensurables , c'està-dire que quelque grandeur que l'on pût prendre pour être la mesure exacte de l'une de ces deux lignes, elle. ne pouvait jamais être la mesure exacte de l'autre. De là naissaient les nombres incommensurables ou irrationnels, qui se trouvaient en une quantité sans comparaison plus grande que les nombres rationnels et ordinaires ; et parce qu'on voyait bien qu'ils étaient d'une nature particulière, mais absolument inconnue, les anciens les évitaient avec beaucoup d'art dans la solution des problêmes , et ne les y admettaient point. Cedendant on les reçoit aujourd'hui sans difficulté, et les solutions qu'ils fournissent sont parfaitement légitimes. Ce n'est pas qu'on les connaisse mieux : mais on s'est familiarisé avec eux à force d'en rencontrer; ils ont vaincu par leur foule , et par leur opiniâtreté à se présenter presque partout.

Je crois avoir prouve dans ce livre, que les nombres irrationnels ne le sont que parce que l'infini entre né-

cessairement dans leur nature ; mais comme la manière dont il y entre n'est nullement apparente, et qu'elle n'avait point été aperçue, c'était l'infini que l'on rencontrait dès la naissance de la géométrie, si déguisé et si enveloppé, qu'on n'en avait aucun soupçon.

Les anciens ont vu que dans l'angle de contingence , formé par la circonférence d'un cercle , et par sa tangente, il ne pouvait passer aucune ligne droite qui le divisât. C'est la un angle infiniment petit, et l'infini commence à s'y découvrir un peu , au lieu qu'il ne se découvrait nullement dans les incommensurables. Aussi l'angle de contingence était une merveille incompréhensible , et l'on n'eût pas pu expliquer comment aucune ligne droite n'y pouvant passer, il y passait tant de circonférences circulaires qu'on voulait, toujours plus grandes que la première. Archimède n'a trouvé le rapport approché du diamètre du cercle à la circonférence, qu'en prenant l'idée du cercle confondu avec un polygone d'une infinité de cotés, et ce rare génie perçait déjà dans l'abime de l'infini.

En dernier lieu , les anciens sont venus à connaître l'hyperbole et ses asymptotes, c'est-à-dire, des lignes qui , prolongées à l'infini , et s'approchant toujours l'une de l'autre , ne peuvent jamais se rencontrer , et de plus des espaces actuellement infinis. Yoilà l'infini plus déclaré , à mesure que la géométrie avançait davantage , et le voilà accompagné de nouvelles merveilles.

On en demeura là, ou plutôt on vint à oublier et à ignorer tout pendant la longue barbarie qui régna en Europe. Au renouvellement des sciences , ceux qui eurent le courage de vouloir être géomètres , étudièrent les géomètres grecs qui restaient , les traductions qu'on

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en fit, les commentaires. C'était être assez habile que de les entendre et de les suivre , embarrassés et épineux comme ils sont , et l'on ne crut pas d'abord qu'il fût possible d'aller par d'autres routes, et moins encore d'aller plus loin. Un peu de préjugé ne pouvait manquer de se mêler au respect légitime qu'on leur devait. Ce qu'ils avaient admis de l'infini , on n'eut pas de peine à l'admettre présenté par les maîtres; mais on l'admettait en quelque manière par force, parce qu'on y était conduit par des guides révérés, aussi bien que par la suite nécessaire des démonstrations ; et quand on y était arrivé, on s'arrêtait avec une espèce d'elîroi et de sainte horreur. On n'eût pas eu l'audace de faire un pas de plus. On regrettait l'infini comme un mystère qu'il fallait respecter, et qu'il n'était pas permis d'approfondir. Il est vrai que cette timidité était fort excusable, par l'extrême disproportion que l'esprit humain sent toujours entre lui et un si grand objet.

Bonaventure Cavallerius , religieux italien, de l'ordre des jésuites, est le premier qui , dans sa cécmétrie des indivisibles , imprimée à Bologne en i635 , ouvrage original et très-ingénieux , ait fondé volontairement et par choix tout un système géométrique sur les idées de l'infini. Il considère les plans comme formés par des sommes infinies de lignes, qu'il appelle des quantités indivisibles , les solides par des sommes infinies de plans pareillement indivisibles; et les rapports de ces sommes infinies ou de lignes, ou de plans', sont nécessairement les mêmes que ceux des plans ou des solides; fondement de toute sa nouvelle théorie. Ce n'est pas qu'effrayé lui-même de l'infini, ou craignant d'effrayer ses lecteurs, il ne le dissimule autant qu'il peut ; il le

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masque le plus souvent sous le nom iï indéfini , terme plus doux en apparence , mais qui , bien entendu , ou ne signifie que la même chose , ou ne signifie rien. Il voit que son système le jette indispensablement dans des infinis plus grands les uns que les autres ; dificulté à laquelle on ne croit pas, dit-il, que les armes même d Achille puissent résister. Aussi se repose-t-il sur le fait évidemment constant, et il traite l'objection de neend gordien qu'il laisse à quelque Alexandre.

Du reste , il ne propose ses vues qu'avec la modestie ei les ménagemens nécessaires à la vérité , qui a le malheur d'être nouvelle ; il semble demander pardon aux géomètres d'avoir mis leur science dans un plus grand jour , et d'en avoir augmenté l'étendue. Il fait valoir l'accord parfait de ses conclusions avec celles qui étaient déjà reçues de tout le monde , et par conséquent tout ce que les mêmes principes lui ont produit de nouveau, doit être également vrai. On s'en persuade encore par un certain ordre naturel , par une liaison facile qui se trouve entre les propositions anciennes et nouvelles ; car telle est la nature des vérités , qu'elles sont toujours prêtes à recevoir parmi elles d'autres vérités, et leur laissent , pour ainsrdire, des places qu'elles n'ont qu'à venir prendre.

La géométrie de Cavallerius subit le sort des nouveautés les plus dignes de l'approbation du public , et même les plus destinées à l'emporter avec le temps : de grands géomètres l'attaquèrent , de grands géomètres l'adoptèrent ou la défendirent; mais enfin c'est la première fois que l'infini ait paru dans la géométrie en forme systématique , et dominant sur toute une grande etvaste théorie, quoiqu'encoreextrêmementenveloppé.

De Roberval , dans une lettre écrite àTorricelli,

assure que cinq ans avant que le livre de Cavallerius parût , il avait trouvé la même méthode des indivisibles, qu'il appelle la science de l'irijini, promettant cependant de n'employer guère une expression si hardie. « C'était, dit-il, en observant de près la marche d'Ar- » chimède, qu'il était arrivé à cette sublime et mer- » veilleuse science ; il la cachait par une vanité de jeune » homme , qui voulait se réserver un secret de résoudre » avec facilité les questions les plus difficiles, et s'atti- )> rer par-là de l'admiration , ce qui lui avait réussi : » mais il lui était arrivé le malheur, que tandis qu'il » s'amusait à se parer de quelques grains d'or tirés » d'une mine inconnue , un autre était venu qui avait » découvert la mine à tout le monde. Il ne voulait » pourtant pas tomber dans le ridicule de revendiquer » les indivisibles ; il reconnaissait nettement que l'acte » public de la prise de possession , décidait absolument » pour Cavallerius ; » tant la fortune a de pouvoir sur tout ce qui s'appelle gloire, et tant il est nécessaire de sesoumettrek ce pouvoir, tout illégitime qu'il pourrait paraître. Le Traité des indivisibles y qu'avait fait de Roberval, a été imprimé après sa mort, avec difFérens ouvrages d'autres académiciens, en 1698.

Je ne prends que les principaux points de cette petite histoire de l'infini. Le plus grand effet, eten même temps la plus forte preuve du mérite de la géométrie des indivisibles , fut de tourner de ce côté-là les vues de Wallis , grand géomètre anglais, et lui donnèrent lieu de faire son Arithmétique des irifinis , qui parut en i65ô. L'Anglais, plus hardi que l'Italien, soit par le génie de sa.nation , soit parce qu'il venait après l'Italien, dont la méthode commençait à s'établir, produit dans tout

son ouvrage, sans marquer aucune crainte, sans user de précaution, des séries ou suites infinies de nombres, et détermine les rapports de leurs sommes , d'où dépendent non-seulement des rapports de plans et de solides que Cavallerius avait donnés, mais encore des quadratures et des rectifications de courbes, qui n'entraient pas dans la théorie de Cavallerius. Wallis dit qu il ccînmence cù Cavallerius avait Jini, et il est certain qu'il va beaucoup plus loin , et qu'il pouvait même , ainsi qu'il en avertit, aller encore au-delà. A mesure que l'audace de manier l'infini croissait, la géométrie reculait de plus en plus ses anciennes limites.

Dans l'espace de quelque quarante années , à compter, si l'on veut, depuis Cavallerius, toutes les spéculations de géométrie devenant toujours plus élevées, aboutissaient à quelque chose de commun , dont peutêtre on ne s'apercevait pas encore. Descartes, par sa fameuse règle des tangentes ; Fermât , par celle des maxima et minima; Pascal, parla considération des élémens des courbes; Barrow , par son petit triangle différentiel, dont l'usage ne finira jamais; Mercator, par son art de former des suites infinies d'une autre espèce que celle de Wallis ; tous ces grands hommes , chacun en suivant sa route particulière , se trouvaient conduits ou à l'infini, ou sur le bord de l'infini. Il perçait de toutes parts, il poursuivait partout les géomètres, et ne leur laissait pas la liberté d'échapper.

Il y a un ordre qui règle nos progrès. Chaque connaissance ne se développe qu'après qu'un certain nombre de connaissances précédentes se sont développées , et quand son tour pour éclore est venu. Cet infini , qu'on ne pouvait plus se dispenser de recevoir, sur-

tout l'infiniment petit, plus nécessaire encore que son opposé , on ne savait point l'employer dans un calcul algébrique , sans quoi il avait très peu d'usage ; et quelle apparence qu'on l'y put jamais employer? Aurait-on traité l'infini comme les grandeurs finies? Sa nature n'y apportait-elle pas un obstacle invincible? Cependant le terme était arrivé, où la géométrie devait enfanter le calcul de l'infini. Newton trouva le premier ce merveilleux calcul , Leibnitz le publia le premier. Que Leibnitz soit inventeur aussi bien que Newton , c'est une question dont nous avons rapporté l'histoire en 1716 , et nous ne la répéterons pas ici. Dès que le calcul différentiel eut paru, BernouUi, le marquis de l'Hôpital, Varignon , tous les grands géomètres entrèrent avec ardeur dans les routes qui venaient d'être ouvertes , et y marchèrent à pas de géant. L'infini éleva tout a une sublimité, et en même temps amena tout a une facilité, dont on n'eut pas osé auparavant concevoir l'espérance ; et c'est là l'époque d'une révolution presque totale arrivée dans la géométrie.

Cette révolution, quelque heureuse qu'elle fût, a pourtant été accompagnée de quelques troubles. U y a eu un géomètre, qui, voulant bien recevoir les infiniment petits du premier ordre , rejetait absolument ceux du second , et de tous les ordres inférieurs , toujours infiniment plus petits les uns que les autres.

Dans l'académie même des sciences, il s'est élevé quelques contestations sur ce système, et nous n'en avons pas caché l'histoire au public.

Il y a plus : Leibnitz, comme nous l'avons avoué dans son éloge , paraît un peu avoir chancelé- Il semble qu'il se fut relâché jusqu'au point de réduire les infinis de

Jifférens ordres à n'èlre que des inccmparahles , dans le sens qu'un grain de sable serait incomparable au globe de la terre , ou ce globe à un globe dont la distance du Soleil à Sirius serait le rayon , ce qui ruinerait l'exactitude géométrique des calculs; et de quel poids ne doit pas être l'autorité de l'inventeur contre l'invention? Malgré tout cela , l'infini a triomphé , et s'est emparé de toutes les hautes spéculations des géomètres. Les infinis ou infiniment petits de tous les ordres sont aujourd'hui également établis ; il n'y a plus deux partis dans l'académie ; et si Leibnitz a chancelé , on se fie plus aux lumières qu'on tient de lui, qu'à son autorité même.

Il faut convenir cependant que toute cette matière est environnée de ténèbres assez épaisses ; et de là vient que quelques uns de ceux qui embrassent les idées de l'infini, ne les prennent pourtant que pour des idées de pure supposition sans réalité, donton ne se sert que pour arriver à des solutions difficiles , qu'on abandonne dès qu'on y est arrivé , et qui ressemblent à des échaffaudages qu'on abat aussitôt que l'édifice est construit. C'est là une façon de penser mitigée, qui rassure un peu contre la frayeur que l'infini cause toujours.

Pour dissiper cette frayeur, du moins en partie, je puis faire souvenir les géomètres d'un infini qu'ils reçoivent tous sans exception ; d'où s'ensuivent nécessairement toutes les idées du sysième moderne , et cela sans aucune des restrictions , sans aucun des adoucissemens qu'on peut imaginer.

Tous les géomètres , anciens et modernes, conviennent que l'espace asymptotique de l'hyperbole est infini, et ils emploient tous ce même terme. Que veulent-ils qu'il signifie? Certainement ils n'entendent pas que

cet espace est étendu à l'infini; car ils démontrent que d'autres espaces asymptotiques pareillement étendus à l'infini , ne sont que finis ; et il est à remarquer que lorsqu'ils démontrent que ces derniers espaces ne sont que finis , ils n'en peuvent le plus souvent déterminer la grandeur finie, et que pour cela ils ne les traitent pas même d'indéfinis. Il faut donc que l'espace hyperbolique soit infini, parce qu'il est plus grand que tout espace fini, quel qu'il soit; plus grand, par exemple, que l'aire d'un cercle dont le Soleil serait le centre, et le demi-diamètre la distance du Soleil à Saturne ou à l'étoile de Sirius, etc. Assurément cette vérité démontrée en cent façons, et reconnue de tout le monde, est bien contraire à ce qu'on jugerait par les sens, en voyant une hyperbole tracée sur le papier, où il semble qu'au bout d'un très petit espace elle se confond déjà avec son asymptote.

L'espace hyperbolique est aussi réellement infini , ou plus grand que tout espace fini, qu'un espace parabolique déterminé ^t les deux tiers de son parallélogramme circonscrit; où serait la différence de ces deux manières d'être? Il serait trop puéril de dire que l'un de ces deux espaces peut être actuellement tracé, et que l'autre ne le peut. La géométrie est toute intellectuelle, indépendante de la description actuelle, et de l'existence des figures dont elle découvre les propriétés. Tout ce qu'elle conçoit nécessaire est réel de la réalité qu'elle suppose dans son objet. L'infini qu'elle démontre est donc aussi réel que le fini , et l'idée qu'elle en a n'est point, plus que toutes les autres, une idée de supposition , qui ne soit que commode , et qui doive disparaître des qu'on en a fait usage.

Si l'on conçoit l'espace hyperbolique divisé en parties finies égales , chacune pourra être prise pour l'unité ; il y en aura un nombre infini , et leur nombre sera égal à cet infini*, qui est l'espace. Or, une somme quelconque de nombres quelconques ne peut être qu'un nomJM^e : l'infini est donc nombre , et doit être traité comme tel ; ce qui prouve encore sa réalité , puisqu'il a celle des nombres.

Le parallélogramme circonscrit à l'espace asymptotique hyperbolique, c'est-à-dire, le parallélogramme dont un des côtés sera la première et plus grande ordonnée de l'hyperbole , et l'autre l'asymptote ou axe infini , sera visiblement plus grand et beaucoup plus grand que l'espace asymptotique. Voilà donc un infini plus grand qu'un autre, et cet infini je le puis doubler, tripler, etc., en concevant la première ordonnée de l'hyperbole deux fois, trois fois, etc. , plus grande : les infinis peuvent donc avoir entre eux les rapports des nombres.

Si enfin je conçois que la première ordonnée de l'hyperbole soit devenue égale à l'asymptote, le parallélogramme circonscrit est un carré infiniment plus grand que l'espace asymptotique infini , ce qui fait voir et la nécessité et la réalité des différens ordres d'infini ; cardes qu'on en tient deux, on voit assez qu'il n'y a plus de bornes.

Ces différens ordres, dont l'ordre du fini est le premier et le plus bas , sont véritablement incomparables; c'est-à-dire, qu'une grandeur de l'un n'est rien par rapport à une grandeur de l'ordre supérieur, non dans le sens qu'un grain de sable ne serait rien par rapport à un globe dont la distance du Soleil à wSirius serait le rayon , mais dans un sens infinimeiit plus rigoureux ; car ce grain de sable et ce globle sont du même ordre ,

puisque ce globe n'est certainement pas infini , ou plus

grand que toute grandeur finie.

Je ne vois pas qu'on puisse rompre en aucun endroit cette chaîne de conséquences qui naissent si simplement et si naturellement de la propriété incontestable de l'espace hyperbolique ; elles naîtraient de m^e de plusieurs autres vérités démontrées en géométrie : et par conséquent ne pas recevoir l'infini tel qu'on vient de le représenter, et avec toutes ses suites nécessaires , c'est rejeter des démonstrations géométriques ; et qui en rejette une , les doit rejeter toutes.

Mais si la certitude est entière, il semble que l'évidence ne le soit pas ; par exemple , un infini moindre qu'un autre a beau être démontré, il parait toujours enfermer une contradiction. Cet infini moindre est nécessairement limité par rapport au plus grand , et dès qu'il est limité , il n'est plus infini ; mais il faut prendre garde que cette contradiction apparente vient de l'idée d'un autre infini que celui qu'on a posé.

Nous avons naturellement une certaine idée de l'infini, comme d'une grandeur sans bornes en tous sens, qui comprend tout, hors de laquelle il n'y a rien. On peut appeler cet infini métaphysique ; mais l'infini ^^Vmétriqiie , c'est-à-dire, celui que la géométrie considère, et dont elle a besoin dans ses recherches, est fort différent ; c'est seulement une grandeur plus grande que toute grandeur finie , mais non pas plus grande que toute grandeur. Il est visible que cette définition permet qu'il y ait des infinis plus petits ou plus grands que d'autes infinis, et que celle de l'infini métaphysique ne le permettrait pas. On n'est donc pas en droit de tirer de l'infini métaphysique des objections contre

le géométrique, qui n'est comptable que de ce qu'il renferme dans son idée , et nullement de ce qui n'appartient qu'à l'autre.

Je puis dire encore plus : l'infini métaphysique ne peut s'appliquer ni aux nombres, ni à l'étendue, il y devient un pur être de raison , dont la fausse idée ne sert qu'à nous troubler et à nous égarer.

L'infini géométrique étant bien entendu , ses principes bien inébranlables , les conséquences bien liées , la plupart des recherches un peu élevées ne laissent pas de nous jeter encore dans des abîmes d'une obscurité profonde, ou tout au moins dans des pays où le jour est extrêmement faible. L'asymptotisme des courbes toujours fort étonnant , quoique fort ordinaire , les espaces asymptotiques que d'assez légères différences rendent finis, ou infinis , leurs solides que des espaces infinis donnent finis, et que des espaces finis donnent infinis, des sommes de suites infinies, qui, d'infinies qu'elles étaient, deviennent finies par la seule élévation des suites au carré , une infinité d'autres merveilles incompréhensibles par elles-mêmes naissent à chaque moment sous les pas des géomètres, et il semble que la géométrie , qui se pique d'avoir la clarté en partage, devrait être exempte de merveilles. Quelquefois même des méthodes, quoique finies et ingénieuses, ne donnent aucune idée nette. Je n'ai point vu , par exemple, de géomètre qui entendit précisément ce que c'est dans la règle des inflexions et des rebroussemens , qu'une différence seconde devenue égale à l'infini. J'en puis dire autant de la courbure infinie , que l'on démontre telle sans savoir aucunement en quoi elle consiste- Ajouterai -je qu'il semble quelquefois que les

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géomètres se fassent honneur de leurs conclusions surprenantes , et qu'ils seraient fâchés qu'elles fussent plus vraisemblables? Quoi qu'il en soit, il est arrivé dans la haute géométrie une chose bizarre ; la certitude a nui à la clarté. On tient toujours le fil du calcul , guide infaillible : il n'importe où l'on arrive ; il y fallait arriver , quelques ténèbres qu'on y trouve. De plus, la gloire a toujours été attachée aux grandes recherches , aux solutions des problèmes difficiles , et non à l'éclaircissement des idées.

J'ai cru que cet éclaircissement, négligé par les habiles géomètres, pourrait être utile à la géométrie; on n'en marchera pas plus sûrement , mais on verra plus clair autour de soi : avec le fil qu'on avait dans des labyrinthes sombres , on aura un flambeau , dont la lueur ne saurait être si petite , qu'elle ne soit toujours de quelque usage ; et même si cette petite lueur que je présente n'est pas fausse, rien n'empêchera qu'on ne l'augmente beaucoup.

J'avoue qu'on peut me reprocher qu'au lieu d'éclaircir l'infini , j'y porte une obscurité nouvelle , un paradoxe inoui , qui est exposé dans la section 3 , et qui ensuite se retrouve souvent dans tout l'ouvrage ; mais si ce paradoxe est vrai , s'il suit nécessairement de la nature de l'infini , je la fais mieux connaître , j'en fais mieux connaître les propriétés, qui , quoiqu'obscures , sont la source de tout ce que le calcul nous donne de plus étonnant; on arrivera aux plus grandes merveilles bien préparé , et sans cette espèce de surprise , qui, dans le fond , n'est point honorable à une vraie science. C'est toujours un degré de lumière, que de voir sûrement à quel principe, fût-il peu connu,

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tiennent certains effets. Ainsi , quand les physiciens ont demandé comment se fait la génération perpétuelle des plantes et des animaux , qui sont des corps d'une organisation si admirable et si constante , ceux qui ont dit que ces corps sont déjà tout formés de la main du souverain Etre dans les graines ou dans les œufs , et qu'ils ne font que se développer, ont apporté dans la physique une connaissance nouvelle et utile , accompagnée qu'elle est de difficultés embarrassantes ; elles ne font pas abandonner le principe , et on se contente d'admirer. Je remarquerai , en passant, que , dans cet exemple même, la principale difficulté vient de l'infini. Ceux qui ont le plus traité de l'infini géométrique ne l'ont fait jusqu'à présent qu'avec un reste de timidité , qui les a empêché de l'approfondir autant qu'ils le pouvaient. Il m'a semblé qu'au point où l'on en était venu, cette timidité n'était plus guère de saison, et que ma témérité serait excusable, si je tâchais d'avancer encore de quelques pas , pourvu que je suivisse exactement les routes déjà ouvertes. Il s'est offert à moi une infinité de nouveaux infinis ignorés et cependant importans ; et en général l'infini s'étend beaucoup plus qu'il ne faisait sur toute la géométrie, ne fut-ce que par cette seule raison que c'est lui qui fait les incommensurables , dont le nombre est infiniment plus grand que celui des commensurables. On rapporte qu'il y a dans les Pays-Bas de grandes étendues de terres qui ont été couvertes par la mer , et dont il ne reste que quelques pointes de clochers éparses çà et là , qui sortjCnt de l'eau. C'est ainsi à peu près que l'Océan de l'infini a abîmé tous les nojnbres et toutes les grandeurs, dont il ne reste que les commensurables que

nous puissions connaître parfaitement. Huyghens, qui était du moins autant homme d'esprit que grand géomètre , a dit en quelques endroits de son Ccsmcthécrcs , quV/ soupçonnait que tout notre calcul ne roulait que sur les commencemens des suites des nombres. Wallis a cru aussi que tous nos signes radicaux ne suffiraient pas pour exprimer certains nombres qu'il entrevoyait , plus singuliers et plus incommensurables que les incommensurables ordinaires. Il y a bien de l'apparence qu'il entrerait de l'infini dans ces nombres de Wallis.

Quand une science , telle que la géométrie , ne fait que de naître , on ne peut guère attraper que des vérités dispersées qui ne se tiennent point, et on les prouve chacune à part comme l'on peut, et presque toujours avec beaucoup d'embarras. Mais quand un certain nombre de ces vérités désunies ont été trouvées , on voit en quoi elles s'accordent, et les principes généraux commencent à se montrer, non pas encore les plus généraux ou les premiers ; il faut encore un plus grand nombre de vérités pour les forcer à paraître. Plusieurs petites branches que l'on tient d'abord séparément , mènent à la grosse branche qui les produit , et plusieurs grosses branches mènent enfin au tronc. Une des grandes difficultés que j'aie éprouvées dans la composition de cet ouvrage , a été de saisir le tronc , et plusieurs grosses branches m'ont paru l'être qui ne l'étaient pas. Je ne suis pas sûr de ne m'y être pas encore trompé ; mais enfin quand j'ai eu pris l'infini pour le tronc ; il ne m'a plus été possible d'en trouver d'autre, et je l'ai vu distribuer de toutes parts, et répandre ses rameaux avec une régularité et une symétrie qui n'a pas peu servi à ma persuasion particulière.

Un avantage d'avoir saisi les premiers principes, serait quel'ordre se mettrait partout presque de lui-même ; cet ordre qui embellit tout , qui fortifie les vérités par leur liaison, que ceux à qui on parle ont droit d'exiger, et qu'on ne peut leur refuser sans une espèce d'injustice, surtout si on sacrifie leur commodité à la gloire de paraître plus profond. De plus , les démonstrations qui ne sont pas tirées des premiers principes , ne vpnt guère au but que par de longs et fatigans circuits. On ne sait presque plus d'où l'on est parti , on ne sait par où l'on a passé. Mais si on a pu remonter à la vraie nature des choses , les démonstrations en naissent presque immédiatement et en foule ; il arrive rarement qu'il y ait bien loin des conclusions aux principes , et que l'on ne puisse pas embrasser d'un coup-d'œil tout le chemin qu'on a fait. Enfin ce qui n'est pas pris dans ces premières sources , manque assez souvent d'une certaine clarté. On se sert des rayons des développées pour mesurer la courbure des courbes : mais parce que ces rayons ne sont qu'un indice de la courbure et non pas ce qui la fait, quand on trouve une courbure infinie , on ne peut en prendre selon cette théorie aucune idée nette. Le vrai est simple et clair ; et quand notre manière d'y arriver est embarrassée et obscure ,' on peut dire qu'elle mène au vrai , et n'est pas vraie.

Le calcul n'est guère en géométrie , que ce qu'est l'expérience en physique ; et toutes les vérités produites seulement par le calcul, on les pourrait traiter de vérités d'expérience. Les sciences doivent aller jusqu'aux premières causes , surtout la géométrie, où l'on ne peut soupçonner, comme dans la physique , des principes qni nous soient inconnus, Car il n'v a dans la

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géométrie , pour ainsi dire , que ce que nous y avons mis; ce ne sont que les idées les plus claires quej'esprit humain puisse former sur la grandeur, comparées ensemble , et combinées d'une infinité de façons différentes : au lieu que la nature pourrait bien avoir employé dans la structure de l'univers quelque mécanique qui nous échappe absolument. Que si cependant la géométrie a toujours quelque obscurité essentielle qu'on ne puisse dissiper, et ce sera uniquement , à ce que je crois , du côté de l'infini , c'est que de ce côté-là la géométrie tient à la physique , à la nature intime des corps que nous connaissons peu, et peut-être aussi a une métaphysique trop élevée, dont il ne nous est permis que d'apercevoir quelques rayons.

Si l'on fait l'honneur à ce livre de l'attaquer, et que ce soit par des endroits qui me sont communs avec les géomètres partisans de l'infini, je me reposerai de ma défense sur leur autorité , et ne me mêlerai point de soutenir leur sentiment qu'ils soutiendraient mieux que moi. Si on m'attaque par des endroits qui me soient particuliers , je demande en grâce qu'on ne les ait point jugés du premier coup-d'œil, qu'on ne les prenne qu'accompagnés de tout ce qui les appuie ou les favorise ; en un mot , (|u'on rompe absolument la liaison qu'ils m'ont paru avoir avec les principes reçus; et je reconnaîtrai mon erreur, sans chercher de vains subterfuges. J'en dis autant de toute autre espèce de fautes où je serai tombé sans m'en apercevoir : ce qui n'est que trop possible dans un assez grand ouvrage , que j'ai toujours craint qui ne fût au-dessus de mes forces, et que j'ai suppi'imé long-temps par cette raison.