DES INFINIMENT PETITS

JLj'anal'7SE qa'on explique dans cet ouvrage , suppose la com* mune ; mais elle en est fort différente. L'analyse ordinaire ne traite que des grandeurs finies ; celle-ci pénètre jusques dans rinfini même. Elle compare les différences infiniment petites de grandeurs finies ; elle découvre les rapports de ces différences ; et par-là elle fait connaître ceux des grandeurs finies , qui , comparées avec ces infiniment petits , sont comme autant d'infinies. On peut même dire que cette analyse s'étend auTdelà de l'in* fini ; car elle ne se borne pas aux différences infiniment petites , mais elle découvre les rapports des différences de ces diffé<rences , ceux encore des différences troisièmes , quatrièmes , et ainsi de suite , sans trouver jamais le terme qui la puisse arrêter ; de sorte qu'elle n'embrasse pas seulement l'infini , mais l'infini de l'infini , on une infinité d'infinis.

Une analyse de cette nature pouvait seulement nous conduire jusqu'aux véritables principes des lignes courbes ; car les courbes n'étant que des polygones d'une infinité de côtés , et ne différant entre elles que par la différence des angles que cçs côtés infiniment petits font entre eux , il n'appartient qu'à l'analyse des infiniment petits de déterminer la position de ces cotés pour avoir la courbure qu'ils forment , c'est-à-dire les tangentes de ces courbes , leurs perpendiculaires , leurs points d'inflexion ou de rebrousscraent , les rayons qui s'y réfléchissent , ceux qui s'y rompent , etc.

Les polygones inscrits ou circonscrits aux courbes , qui , par la multiplication infinie de leurs côtés , se confondent enfin avec elles , ont été pris de tout temps pour les courbes mêmes : mais on en était demeuré là. Ce n'est que depuis la découverte de l'analyse dont il s'agit ici , que l'on a bien senti l'étendue et 1« fécondité de cette idée/

Ce que nous avons des anciens sur ces matières , principalement d'Archimëde , est assurément digne d'admiration. Mais , outre qu'ils n'ont touché qu'à fort peu de courbes , qu'ib n'y

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ont même touche que lëgërement , ce ne sont presque partout que des propositions particulières et sans ordre, qui né font apercevoir aucune méthode régulière et suivie. Ce n'est pas cependant qu'on leur en puisse faire un reproche légitîoke : ils ont eu besoin d'une extrême force de génie pour percer à travers de tant d'ohscurités , et pour entrer les premiers dans des pays entièrement inconnus. S'ils n'ont pas été loin , s'ils ont marché par de longs circuits ; du moins , quoi qu'en dise Yiette , ils ne se sont point égarés ; et plus les chemins qu'ils ont tenus étaient difficiles et épineux , plus ils sont admirables de ne s'y être pas perdus. En un mot , il ne paraît pas que les anciens en aient pu faire davantage pour leur temps ; ils ont fait ce que nos bons esprits auraient faits en leur place ; et , s'ils étaient k la nôtre , il est à croire qu'ils auraient les mêmes vues que nous. Tout cela est une suite de l'égalité naturelle des esprits et de la succession nécessaire des découvertes.

Ainsi , il n'est pas surprenant que les anciens n'aient pas été plus loin ; mais on ne saurait assez s'étonner que de grands hommes , et sans doute d'aussi grands hommes que les anciens , en soient si long-temps demeurés là , et que , par une admiration presque superstitieuse pour» leurs ouvrages , ils se soient contentés de les lire et de les commenter , sans se permettre . d'antre usage de leurs lumières , que ce qu'il en fallait pour les suivre , sans oser commettre le crime de penser quelquefois par eux-mêmes , et de porter leurs vues au-delà de ce que les anciens avaient découvert. De cette manière , bien des gens travaillaient , ils écrivaient ; les livres se multipliaient , et cependant rien n'avançait : tous les travaux de plusieurs siècles n'ont abouti qu'à remplir le monde de respectueux commentaires , et de traductions répétées d'originaux souvent assez méprisables.

Tel fut l'état des mathématiques , et surtout de la philosophie , jusqu'à Descartes. Ce grand homme , poussé par son génie et par la supériorité qu'il se sentait , quitta les anciens pour ne suivre que cette même raison que les anciens avaient suivie ; et cette heureuse hardiesse , qui fut traitée de révolte , nous valut une infinité de vues nouvelles et utiles sur la physique et sur la géométrie. Alors on ouvrit les yeux , et l'on s'avisa de penser.

Pour ne parler que des mathématiques , dont il est seulement ici question , Descartes commença oii les anciens avaient fini y et il débuta par la solution d'un problème , oti Pappus dit qu'ils étaient tous demeurés? On sait jusqu'oii il a porté l'analyse et la géométrie , et combien * l'alliage qu'il en a fait rend facile la solution d'une infinité de problèmes , qui paraissaient

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impén^tjrablfs ftyant loi. Mais , comme il s^appliqaaît principâ-* lemtnt k la résolation des égalités , il ne fit d'attention aux conrbes qn'aneant qu'elles lui pouvaient seryir à en trouver les racinai , de sorte qo€ l'analyse ordinaire lui suffisant pour cela , il ne s'avisa point d'en chercher d'autre. H n'a pourtant pai laissa de s'en servir henreusement dans la recherche des tangentes , et la méthode qu'il découvrit pour cela lui parut si belle , qu'il ne fit point difficulté de dire que ee problème était iê plut uiiU et lé plus général , non^eulemenf qu'il edt, maie même qu*U eût Jamaia désiré de savoit' en géométrie,

Conune la géométrie de Descartes avait mis la construction des problèmes par la résolution des égalités fort à la mode , et qu'elle avait donné de grandes ouvertures pour cela , la plupart des géomètres s'y appliquèrent ; ils y firent aussi de nouvelles découvertes , qui s'augmentent et se perfectionnent encore tous les jours.

Pour Pascal , il tourna ses vues de tout un autre côté. Il etanina les courbes en eiles-^mémes , et sous la forme de polygones ; il rechercha les longueurs de quelques-unes , l'espace qu'elles renfenuisnt , le solide que ces espaces décrivent , les centres de gravité des unes et des autres , etc. ; et par la considération seule de leurs élémens , c'est-à-dire des infinimens petits , il découvrit des méthodes générales, et d'autant plus surprenantes , qu'il ne paraît y être arrivé qu'à force de tête etsans analyse.

Peu de temps après la publication de la méthode de Descartes pour les tangentes , de Fermât en trouva aussi une , que Descartes a enfin avoué lui-même être plus simple , en bien des rencontres , que la sienne. Il est pourtant vrai qu'elle n'était pas encore aussi simple que Barrow l'a rendue depuis , en consi-> dérant de plus près la nature des polygones , qui présentent naturellement à l'esprit un petit triangle fait d'une particule de courbe , comprise entre deux appliquées infiniment proches , de la diflérence de ces deux appliquées , et de celle des coupées correspondantes ; et ce triangle est semblable à celui qui se doit former de la tangente , de Pappliquée , et de la sous-tangente ; de sorte que , par une simple analogie , cette dernière méthode épargne tout le calcul que demande celle de Descartes, et que cette méthode elle-même demandait auparavant.

Barrow n'en demeura pas là ; il inventa aussi une espèce de calcul propre à cette méthode ; mtfis il lui fallait y aussi-bi^n que dans celle de Descartes , ôtér les*fractions » et faire évanouir tons les signes radicaux pour s'en servir.

Au défiiut de ce calcul , est survenu celui du célèbre

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Leibnits , et ce savant géomètre a commeacé oit Barrew et le» antres ayaient fini. Son calcul l'a men^ dans des paya jusqu'ici inconnus , et il j a fait des découvertes qui font l*étonnement des plus habiles matbëmaticiens de l'Europe. MM. Bemoulli ont été les premiers qui se sont aperçus de la beauté de ce calcul 3 ils l'ont porté à un point qui les a mis en état de surmonter dei difficultés qu'on n'aurait jamais osé tAiter auparavant.

L'étendue de ce calcul est immense t il convient aux courbes mécaniques comme aux géométriques ; les signes radicaux lut sont indifférens , et même souvent commodes ; il s'étend à tant d'indéterminées qu'on voudra ; la comparaison des infiniment petits de tons les genres lui est également facile. Et de là naissent nne infinité de découvertes surprenantes par rapport aux tangentes tant courbes que droites , aux questions de maximis et minimU , aux points d'inflexion et de rebroussement des courbes , aux développées , aux caustiques , par réflexion ou par réfraction , etc. , comme on le verra dans cet ouvrage.

Je le divise en dix sections. La première contient les principes du calcnl des différences. La seconde fait voir de quelle manière l'on s'en doit servir pour trouver les tangentes de 'tontes sortes àt courbes , quelques nombres d'indéterminées qu'il y ait dans l'équation qui les exprime ^ quoique Craige n'ait pas cm qu'il pût s'étendre jusqu'aux courbes mécaniques ou transcendantes* La troisième , comment il sert à résoudre tontes les questions de maximis et minimis. La quatrième , comment il donne les points d'inflexion et de rebroussement des courbes. La cin^ quîème en découvre l'usage pour trouver les développées de Hujghens dans toutes sortes de courbes. La sixième et la septième foot voir comment il donne les caustiques , tant par réflexion que par réfraction , dont YiWMStrtTschirnhaue est l'inventeur , et pour tontes sortes de courbes encore. La huitième en fait voir encore l'usage pour trouver les points de lignes courbes qui touchent une. infinité de lignes données de position , droites ou courbes. La neuvième contient la solution de quelques problèmes qui dépendent 4^s découvertes précédentes. Et la dixième con-^ siste dans une nouvelle manière de se servir du calcul des diffé** rences pour les courbes géométriques ; d'oïl l'on déduit la méthode de Descartes et Hudde , laquelle ne convient qu'à ces

sortes de courbes.

n est à remarquer que dans les sections a,3,4y59^>79^9 il n^j a que très-peu de propositions ; mais elles sont toutes

Générales y et comme autant de méthodes dont il est aisé de faire 'application à tant de propositions particulières qu'on voudra : je la fais seulement sur quelques exemples choisis , persTuadé

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qu'en fait de mathématique , il n'y a k profiter qne dans les méthodes , et que les livres qui ne' consistent qu'en détails ou en propositions particulières , ne sont bons qu'à faire perdre du temps à ceux qui les font ^t à ceux qui les lisent. Aussi n'ai-je ajouté les problèmes de la section neuvième , que parce qu'ils passent pour curieux , et qu'ils sont très-universels. Dans la dixième section , ce ne sont encore que des méthodes que le calcul des différences donne à la manière deDescartes'etHudde; et si elles sont si limitées , on voit par toutes les précédentes , que ce n'est pas un défaut de ce calcul , mais de la méthode cartésienne à laquelle on l'assujettit. Au contraice , rien ne . prouve mieux l'usage inmiense de ce calcul , que toute cette variété de méthodes ; et , pour peu d'attention qu'on y fasse , l'on verra qu'il tire tout ce qu'on peut tirer de celle de Descartes et Hudde, et que la preuve universelle qu'il donne de l'usage qu'on y fait des progressions arithmétiques , ne laisse plus rien à souhaiter pour l'infaillibilité de cette dernière méthode.

J'avais dessein d'y ajouter encore une section , pour faire sentir aussi le merveilleux usage de ce calcul dans la physique ^ jusqu'à quel point de précision il la peut porter, et combien les mécaniques en, peuvent tirer d'utilité ; mais une maladie m'en a empêché : le public n'y perdra pourtant rien , et il l'aura quelque jour , même avec usure. ,-

Dans tout cela, il n'y a encore que la première partie du calcul de Leibnitz , laquelle consiste à descendre des grandeurs entières à leurs difiérences infiniment petites , de quelque genre qu'ils soient : c'est ce qu'on appelle calcul différentiel* Pour Tautre partie , qu'on appelle calcul intégral , et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs et aux tous dont ils sont les différences , c'est-à-dire à en trouver les sommes , j'avais aussi dessein de le donner. Mais Leibnitz m'ayant écrit qu'il y travaillait dans un traité qu'il intitule de scientiâ InfitiUi y je n'ai eu garde de priver le public d'un si bel ouvrage f qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la méthode inverse des tangentes , pour les rectifications des courbes , pour la quadrature des espaces qu'elles renferment y pour celle des surfaces des corps qu'elles décrivent , pour la dimension de ces corps , pour la découverte des centres de gravité, etc. Je ne rends même ceci public, que parce qu'il m'en a prié par ses lettres , et que je le crois nécessaire pour préparer les esprits à comprendre tout ce qu'on pourra découvrir dans la suite sur ces matières.

Au reste, je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. Bemoulli, surtout à celles du jeune , présentement pro-

fessear k Gronioguê ; je me suis seryî sans Façon ie leurs âécou-* vertes et de celles de Leibaits. C'est pourquoi je consens qu'ils en revendiquent tout ce qu'il leur plaira , me contentant de ce ^'ils. Tondront bien me laisser»

Cest encore une justice due au savant Newton, et que*Leibnitz lai a rendue lui-même,, qu'il avait aussi trouve quelque choie de semblable au calcid difierentiel , comme il parait par TexoeUent livre intitulé : f^hUoëophiœ naluraiis principia ma^ Ûfmatica , qu'il nous donna en 1687 , lequel est presque tout do ce cakdl. Mais la caractéristique de Leibnits rend le siien beau* ctup pins &ciie et plus expéditif , outre qu'elle est d'un secours nermllenx en 4nen .des rencontres.

Connu l'on imprimait la dernière feuille de ce traité, le livre ^ Niêtupeniyi m'est tombé entre les mains. Son titre, omuBfaia If^iMkorum^ m'a donné la curiosité de le, parcourir ; mais j'ai ' troové qu'il était fort diâerent de celui-ci : car , outre que cet ' astear ne se sert point de la caractéristique de Leibnits , il re« jette absolument ks différences secondes , troisiènies , etc. Coraïue j'ai bâti la meilleure partie de cet ouvrage sur ce fon«^ denent, je me croirais obligé de répondre à ses «éjections , et de &ire voir ooDdnen elles sont peu solides , .si LeibUtt «y ivtitdéjà pleinement satisfait dans les actes de Leipsick. D'aiK». leais las-dens demandes ou suppositions que j'ai faites au corn» aMnoeniCBt de ce traité , et sur lesquelles seules il est appuyé , me paraissent si évidentes, que je ne crois pas qu'elles puissent Ui«er avcan doute dans l'esprit des lecteurs attenti£i. Je les au- ' rsis même pn démontrer à la manière des anciens , si je ne me * Ame proposé d'être court sur les choses qui sont déjà connues , et de m'nttacker principalement à celles' qui sont nouvelles.

DÉS ÉLÉIdENS