e x* / cosf 2 — \JH~i siii'/ ) dq

On peut mettre, au lieu de G,, une des racines 0,, 82, 0:J, 0,, ... el l'on en composera une valeur plus générale exprimée par l'équation

2"-/, fj, I

v' I COsI 2 ' ^ 9, si n y ) rAy

-~ f,c x" / cii>( ■>. - \ 02 s i 1 1 y J d i

î!*!ii r f x r- \ -"..>■ v" / cosl 2^\/d3s\ngj dq

at,a2, a. sont des coefficients arbitraires; la variable <y disparait

après les intégrations, qui doivent toutes avoir lieu depuis </ = o jusqu'à q = ~.

Pour démontrer que cette valeur de v satisfait à toutes les conditions de la question et qu'elle en contient la solution générale, il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients a,, a.,, a3f- .. . d'après l'état initial. On reprendra l'équation

dans laquelle «,, u.,, //., sont les différentes valeurs que prend la Fonc

CH MM II; i: \ I < ï L1NDRE SOLIDE, lion //. ou

lorsqu on mel successivement au lieu de les valeurs gt , g2, g.

En faisant / o. on a l'équation

dans laquelle V esf une fonction donnée de x. Soi i m .< cette fonction, et représentons la l'on ci ion u( dont l'indice esl i par ty(x \jgi). On aura

Pour déterminer le premier coefficient, on multipliera chacun des membres de l'équation par &,dxt -7, étanl une fonction de x, el l'on intégrera depuis x = o jusqu'à c X. On déterminera celle loin lion <r, en sorte qu'après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coefficient a,, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coefficient a,, on multipliera pareillement les deux tenues de l'équation

, ii- a1ul-i-aiui-+-aiui + . . .

par un autre facteur z.,<lx, et l'on intégrera depuis x = o jusqu'à j?= X. Le facteur ~. devra être tel que toutes les intégrales du second membre s'évanouissent excepté une seule, savoir celle qui est affectée du coefficient at. En général, on emploie une suite de fonctions de a désignées par a1,, o"2, t3, . . . , qui correspondent aux fonctions u,, // ,. //j, ... : chacun de <'<^ facteurs or a la propriété de faire disparaître par l'intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies, epté un seul; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coefficients a . a2, a, Il faut dune chercher quelles sont les fonctions qui jouissent de la propriété dont il s'agit.

THEORIE DE L \ «Il M. Kl R.

Chacun des termes du second membre de l'équation est une intégrale définie de celle forme afaudx; u esl une fonction de x qui satisfait ii l'équation

m i du '/- u

/. x dx dx-

un aura donc

f , k ffadu d'il I rj II (Il ——a— I [ - —, hffT,

J m , i \ x dx if i -

En développant, au moyen de l'intégration par parties, les termes

fl£dx' J ad^dx'