CHAPITRE VII. PRISME RECTANGULAIRE

ii distances égales finissent par décroître en progression géométrique. Cette l"i aura toujours lieu, quelle que soii l'épaisseur de la barre, pourvu que l'on considère des points situés a une grande distance du foyer de chaleur.

Il est facile de voir, au moyen de la construction, que, si la quantité appelée /. qui esl la demi-épaisseur du prisme, rsi fort petite, //, a une valeur beaucoup plus petite que "., n ; il en résulte que la première fraction e r^SH* est beaucoup plus grande qu'aucune des fractions analogues. Ainsi, dans le cas où l'épaisseur de la barre esl très petite, il n'est pas nécessaire de s'éloigner «le la source de la chaleur pour que les températures des points également distants décroissent en progression géométrique. Cette loi règne alors dans toute l'étendue de la barre.

Si la demi-épaisseur /est une très petite quantité, la valeur générale de v se réduit au premier terme, <|iii contient r—'r;!";. Ainsi la fonction » i|ui exprime la température d'un point dont les coordonnées sont > . \ el s esl donnée, dan- ce cas, par l'équation

i sin // / V , —

i =\ — -. : , cosny cos/i ■' l

■ni -in » ///

l'arc i ou «/devienl extrêmement petit, comme on le voit par la construction. L'équation

-'■ réduit aloi - .1

la II- : /

la première valeur de e, ou e,, esl y ~ : a l'inspection de la fîg. 1 5 p. '>' >- , on connaît les valeurs des autres racines, en sorte que les quantités e, . e2i e,, ... sonl les suivant* -

ht

370 THÉORIE DE L \ Cil WA'A II.

Les valeurs de nt, n2, /?.,, ... sont donc

7VK' V T'

on en conclut, comme on l'a <lii plus haut, que, si / est une très petite quantité, la première valeur n est incomparablement plus petite <|ii<' toutes les autres, et que Fou doit omettre dans la valeur générale de v tous les tenues qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour //, en remarquant que l'are ni et l'arc inl sont ésraux à leurs sinus, on aura

( [Kl A ( [kl z\ -rfâ

le facteur i / ^qui entre sous les signes cosinus étant très petit, il s'ensuit que la température varie très peu pour les différents points d'une même section, lorsque la demi-épaisseur / est très petite. Ce résultat est, pour ainsi dire, évident de lui-même; mais il est utile de remarquer comment il est expliqué par le calcul. La solution générale se réduit en elïet à un seul terme, à raison de la ténuité de la barre, et l'on a, en remplaçant par l'unité les cosinus d'arcs extrêmement petits,

équation qui exprime, dans le cas dont il s'agit, les températures stationnâmes.

On avait trouvé cette même équation précédemment .art. 76, p. 55 ; on l'obtient ici par une analyse entièrement différente.

La solution précédente l'ait connaître en quoi consiste le mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide. Il est facile de voir que, lorsque le prisme a acquis dans tous ses points les températures stationmires que nous considérons, il existe, dans chaque section perpendi-

i il vri i i;i. \ m. prisme i;i.< rANGi i. uni-:. :tT t

culaireà l'axe, un flux constant de chaleur qui se porte vers l'extrémité non échauffée. Pour déterminer la quantité de ce flux qui répond ii u ne abscisse a*, il faut considérer que celle qui traverse, pendant l'unité de temps, un élément de la section est égale au produit du coefficient k. de l'aire dydz et du rapport , pris avec un signe contraire.

ii / i

Il faudra donc prendre l'intégrale

depuis s = o jusqu'à c = /, demi-épaisseur de la barre, et ensuite depuis y = o jusqu'à y = I. On aura ainsi la quatrième partie du flux total.

Le résultat de ce calcul fait connaître la loi suivant laquelle décroît la quantité de chaleur qui traverse une section du prisme; et l'on voit que les parties éloignées reçoivenl très peu de chaleur du foyer, parce que celle qui en émane immédiatement se détourne en partie vers la surface, pour se dissiper dans l'air. Celle qui ira\ erse une section quelconque du prisme forme, si l'on peut parler ainsi, une nappe de chaleur dont la densité varie d'un point de la section à l'autre. Elle esi continuellement employée a remplacer la chaleur qui s'échappe par la surface, (huis toute la partie du prisme située à la droite de la section : il est donc nécessaire que toute la chaleur qui sort pendant un certain temps de cette partie du prisme soit exactement compensée par celle qui \ pénètre en vertu de la conducibilité intérieure du solide.

Pour vérifier <<■ résultat, il faut calculer le produit du flux établi a l,i surface. L'élément de la surface est dxdy, et, v étant sa température, hvdxdy est la quantité de chaleur qui sort de cet élément pendant l'unité de temps. Donc l'intégrale // / dx / vdy exprime la chaleur totale émanée d'une portion finie de la surface. Il faut maintenant employer la valeur connue *\>- » en y en supposant - = /; puis intégrer, une fo - depuis y -. o jusqu'à j* — /, et une seconde fois depuis x i

372 THEORIE DE I- \ CH \I.Kl li

j 1 1 - * | ii *;i x = oc. On trouvera ainsi la moitié de la chaleur <|ui sorl de la surface supérieure du prisme; et, prenant quatre fois le résultat, on aura la chaleur perdue par les surfaces supérieure el inférieure.

Si l'on se serl maintenant <le l'expression h / dx / * <lz. que l'on donne à y dans v sa valeur /, que l'on intègre, une lois depuis z = o jusqu'à s = /, et une seconde lois depuisa? = a?jusqu'àa? = ac, on aura la quatrième partie de la chaleur qui s'échappe par les surfaces latérales.

L'intégrale h / dx / vdy, étanl prise entre les limites désignées,

donne la valeur

ha . /— -, — -,

-in ////cos/i/e^^v'""1""',

pour chacun des ternies

a e~xv ''»*+"'- cas m y cos n z

de v, et l'intégrale h / dx / vdz donne

ha

COSw/sill n / r '\ ">'■<-'''■

doue la quantité de chaleur que le prisme perd à sa surface, dans toute la partie située à la droite de la section dont l'abscisse est r, se compose de tous les termes analogues à celui-ci

\lni ,—. — , / i . , ,i , . A

= e-x\">-+"- — s 1 1 1 //// cns/a H cos/;// -m /// .

\iii--hni \m "

D'un autre côté, la quantité de chaleur qui pénètre, pendant le même temps, à travers la section dont l'abscisse esta? se compose des termes analogues à celui-ci

mu il est donc nécessaire que l'on ail l'équation

— smml sin ni = — — ====== sinmtcos«t H == cos ml sm ni

"tn /u\ m n' n \ m- n':

OU

K (m'2 + n'2) sin//// -in /// — h/n cos//// sin /// + //// sin/// /cos///:

i II \l'l I Kl \ 11. PRISME REC l\\M I. V 1 1 i I . or on a séparément

K nr vju //// «.in /// lun COS //// >iu ///

• Ml

nu ;i aussi ou

/// si ii //// h

K sin/i/sin/n/ = hncosnlsinml

n sin /J //

eus/// K'

donc l'équation es! satisfaite. Cette compensation qui s'élablil sans ss <• entre la chaleur dissipée et la chaleur transmise est une conséquence manifeste de l'hypothèse, h le calcul reproduil ici la condition qui avait d'abord été exprimée; mais il était utile de remarquer celle conformité dans une matière nouvelle, qui n'avait point encore été soumise à l'Analyse.

Supposons que le demi-côté / <lu carré qui sert de base au prisme soil nue ligne extrêmement grande, et que l'on veuille connaître la loi suivant laquelle les températures décroissent pour les différents points de l'axe; on donnera à y et à s des valeurs nulles dans l'équation générale, et a / n nr valeur extrêmement grande. Or la construction faiteon-

naître, dans ce cas, « | n »• la première valeur de i est '• la deuxième

la troisième —i •■ • On fera ces substitutions dans l'équation eéné-

raie, on remplacera n.l. nA. n.l, ... par leurs valeurs •••

et l'on mettra aussi la fraction y. au lieu de < .On trouve alors

r(|Y - - .1 v ja^'M-ifl^-...)

1 \ [ \ ■^r+ïi \

374 THEORIE DE L V Cil \LKl lt.

On \ini par ce résultat que la température des différents points de l'axe décroit rapidement à mesure qu'on s'éloigne de l'origine. Si «loue on plaçait, sur un support échauffé el maintenu à une température permanente, un prisme d'une hauteur infinie, ayant pour base un carre dont le demi-côté / serait très grand, la chaleur se propagerait dans l'intérieur du prisme et se dissiperait par la surface dans l'air environnant, qu'on suppose à la température <>. Lorsque le solide serait parvenu à un état fixe, les points de l'axe auraient des températures très inégales et, à une hauteur équivalente à la moitié du côté de la base, la température du point le plus échauffé sérail moindre que la cinquième partie de la température de la hase.