DU MOUVEMENT DE LA CHALEUB DANS IN CUBE SOLIDE

Il nous reste encore à faire usage de l'équation

,)/ (.\)\), dj dz

qui représente le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé ii l'action de l'air Sect. Vdu Chapitre II, p. lo6). On choisira en premier lieu pour v la valeur très simple

e~""cos/i ' cospy cosg ;;

et, en substituant dans la proposée, on aura l'équation de condition

la lettre /• désignant le coefficient -. ■ Il suit de là que, si l'on met au lieu de n. />. >/ des quantités quelconques et si l'on prend pour m la quantité k //- ■/''-'/' • la valeur précédente de < satisfera toujours ;i l'équation aux différences partielles. <>n aura donc l'équation

e z= C~l% "■!■' 'l' 'COS/J / fn-fi i ru- y;.

L'état de la question exige aussi que, si e change <lc signe et si i et ; demeurent les mêmes, la fonction ne change point; et que cela ail aussi lieu par rapport à y et par rapport ;i ~: or la valeur >\r v satisfait ••n idemmenl à ces conditions.

376 THEORIE DE L \ CH M. Kl 15.

Pour exprimer l'état de la surface, on emploiera les équations suivantes :

± K -j 1- hv — o,

± Iv — -+- h v = o.

Elles doivent être satisfaites (' lorsque l'on a .i=±«, mi v=±rt, ou c = ±«. On prend le centre du culte pour l'origine «les coordonnées et le côté est désigné par ia.

La première des équations (h) donne

h K ou

(■-""n sin//.r cospy COSqz -t- = COs//./ cos/?^ cosç-s = o

rt tangn# -+- r= = o,

équation qui doit avoir lieu lorsque x = ± a (2).

Il en résulte que Ton ne peut pas prendre pour // une valeur quelconque, mais que celte quantité doit satisfaire à la condition

na langna = a.

1 ) Plus exactement, on doit avoir

pour x a et

— K h hv = o

pour x = — a, et cela, quels que soient j et z. Cet énoncé s étend de lui-même aux deux autres équations. G. D.

\\ir correspondance des signes, c'est-à-dire on doil prendre x -■ a s'il s'agii de

1 équation

— // tang nx 4- r- = o.

el ' h dans le cas contraire. (i- l>

CH \PI I lïK VIII. - CUBE SOLIDE, :5TT

Il faut donc résoudre l'équation déterminée

h . lang : : a, K

ce <|iii donnera la valeur de î, et l'on prendra n- ' • Or l'équation en

£ a une infinité de racines réelles; donc on pourra trouver pour // une infinité «le valeurs différentes. <m connaîtra de la même manière les valeurs que l'on peul donner à /> et à y: elles son! toutes représentées par la construction que l'on a employée dans la question précédente

art. 328 . Nous désignerons ces racines par //,, //., n3 \insi

l'on pourra donner à v la valeur particulière exprimée par l'équation

v __ e-AHn*-t-p*+q COS/J ' COS/JJ COS^w,

pourvu que l'on mette, au lieu de //, une des racines n{, n ,, //., et

qu'il en soil de même de /> el de q.

( >n peul former ainsi une infinité de valeurs particulières de * . el il r>t visible < 1 1 1 »• la somme de plusieurs de ces valeurs satisfera aussi a l'équation différentielle a el aux équations déterminées l> . Pour donner à v la forme générale que la question exige, on réunira un moulin indéfini de termes semblables à celui-ci

gg-kllnU-p*-*-^) CQS n i COSJPJ COSqz.

Nous exprimerons cette valeur de v par l'équation suivante :

v = >'■ •! cos/j ' ■ ' a3cosn3a e

. ,,- n . . a,cos/iij cos n ■■ ■ "' -+- . . . )

(at cosnlze~ka*t-*-a cosn s< ca\l -+■ atcosn :■ '-t-...).

Le second membre doil se former ' du produit «les trois facteurs

Il y ;t lieu >'. marque analogue •< celle qui ->• rapport» .. l'ar-

378 THÉORIE DE L \ Cil ILEUR.

écrits dans les trois lignes horizontales, el les quantités a,, a,, a,, ... sonl des coefficients inconnus. Or, selon l'hypothèse, si l'on fait t o, la température doit être la même pour ions les points du cube. Il Paul doue déterminera,, «,, a3, ... en sorte que la valeur de v soit constante quelles que soient celles de .r, de y el de s, pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre a et <i. Désignant par i la température initiale commune à tous les points du solide, on posera les équations

i = a{ cos«j.r -+- a., eos//,.r + a3 COSn3x-+- . . . , i = a, cos nxy -+- a2 COSnty -4- a3 cosn3y -+-..., i = «, cos n , z -+- a2 cos n2z + a3 cos /j3 - -+-...,

dans lesquelles il s'agit de déterminer a,, a,, a3, \près avoir multiplié chaque membre de la première par cosn^dx, on intégrera depuis x = o jusqu'à x—a : or il résulte de l'analyse employée précédemment (art. 325) que l'on a l'équation

2 sin/i, a cos//, x 2 s'ui/i, a cos/> , /

siri2/i.a\ / sm ■.>.//.,//

inxa J \ 2/t,a

sin2ft,-a

désignant par a, la quantité -H — )> on aura

mii //, a sinn.a sin«3«

i=- — cos«..r-i — -cos/i,^H — cos« .,./■ + ... :

'i\"'/i /loO^., n3(i'x.

cette équation aura toujours lieu lorsque l'on donnera à x une valeur comprise entre a et — a.

On peut en conclure l'expression générale de v; elle est donnée par I équation suivante :

/ sin /j, a ,.„,, sinn a ... \

v = [ - cosn, i -c '■"•'-+- - c(i<// ,./■(• -'•".' 4- .. .

\ H\ " ',' i "ir( l^i J

in«ifl ,„i, sinnja , ,. \

COS H, IC""'' -H- rov//., ) c -'■">< -j- . . .

in/t,a . ,. sin//.-/ . , \

î,au, h,<i-j.

1 il vi'l l RE \ III. Cl BE Soi. nu;.

in-

I. expression de i esl donc formée du produil de trois fonctions se blables, l'une de r, l'autre de y el la troisième de s, ce qu'il esl facili de vérifier immédiatement.

En effet, -i. dans l'équation

• m suppose

fr ■> i ,i\ d -

dt ' {du;1 dp dz

«=XYZ,

'•" dénotanl par \ une fonction de x el /. par V un.' fonction de » el t, el par /. une fonction de = el /. on aura

M ;/ XZ- ï/'A //An''7 w'm w<>V

"ii prendra les trois équations séparées

dt A Jï »

<>n <li.ii avoir aussi, pour la condition relative ;i lu surface

/ . A<PZ àY d'Y ,)\ à \ dl ' ' dy-' dt " dx'-'

dj k

dz K

•I "H I 'M, ilrilmt

à* KX "• dj K1 °' ,,, K7-0'

11 suil ,lr l;i que, pour résoudre complètemenl la question, il suffi! de prendre l'équation

du d*u dt h'Ta '

••t d'y ajouter l'équation <l<- condition

du I,

380 THÉORIE DE LA CH \LKl R.

qui doil avoir lieu lorsque x = a. On mettra ensuite y ou s à la place de x, el l'on aura les trois fonctions X, Y, Z, don! le produit est la valeur générale de v.

Ainsi (a question proposée est résolue comme il suit :

".."IJ-.i

n,, />,, //.,, . . . sont donnés par l'équation suivante

ha étangs = -j-,

dans laquelle i représente na; la valeur de u., est

i / si lia ri.a

oi r,