H 11 II ,U

COS/Jj

-An:

2 \ > Il Lil

On trouve de la même manière les fonctions tp(j, /), <pl ^. / .

On peut se convaincre que cette valeur de v résout la question dans toute son étendue, et que l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles (a) doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables du solide.

En effet, l'expression de v satisfait à l'équation («) et aux conditions relatives à la surface. Donc les variations Acs températures qui résultent dans un instant de l'action des molécules et de l'action de l'air sur la surface sont celles que Ton trouverait en différentiant la valeur de v par rapport à /. Il s'ensuit que si, au commencement d'un instant. la fonction v représente le système des températures, elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l'instant suivant, et l'on prouve de même que l'état variable du solide sera toujours exprimé par la fonction c, dans laquelle on augmentera continuellement

i II tPITRE VIII. Cl BE sol. 1IH. 381

la valeur de /. Or cette même fonction convienl à l'étal initial : donc elle représentera tous les états ultérieurs «lu solide. Ainsi, l'on esl assuré que toute solution <|ui donnerait pour v une fonction différente de la précédente serait erronée.

Si l'on suppose tjut* le temps écoulé / esl devenu très grand, on n'aura plus à considérer <|iie le premier tenue de l'expression de v; car les valeurs />,. //.. . . . sont rangées par ordre, en commençant par la plus petite. Ce terme est donné par l'équation

-'""'" Kl;',

cos/i.vccosrtiy cos/ii-se-8*"»';

voilà donc l'étal principal vers lequel le système des températures tend continuellement, el avec lequel il coïncide sans erreur sensible au boul d'un certain temps. Dan- cet état, la température de chacun des points décroil proportionnellement aux puissances de la fraction e alors les états successifs sont tous semblables ou plutôt ils ne diffèrent que par la quantité des températures, qui diminuent toutes comme les termes d'une propre— ion géométrique en conservant leurs rapports.

On trouvera facilement, au moyen de l'équation précédente, la loi suivant laquelle les températures décroissent d'un point à l'autre dans le sens des diagonales ou des arêtes du cube, ou enfin d'une ligni donnée de position. On reconnaîtra aussi quelle esl la nature des surfaces «[ni déterminent les couches de même température. (>n voit que, dan- l'étal extrême «•! régulier que non- considérons ici, le- points d'une même couche conservenl toujours la même température, ce qui n'avait point lieu dans l'étal initial el dan- ceux qui lui succèdenl immédiatement. Pendant la durer infinie de ce dernier état, la masse divise en une infinité de couches dont tous les points ont une température commune.

382 THEORIE DE LA CH \LKl'lt.

Il est facile de déterminer, pour un instant donné, la température moyenne de la masse, c'est-à-dire celle que l'on obtiendrait en prenant la somme des produits du volume de chaque molécule par sa température cl en divisant celte somme par le volume entier. On formera ainsi

l'expression— rj f f f vdxdydz, qui est celle de la température

moyenne V. L'intégrale doit être prise successivement par rapport à a . à jet à -, entre les limites — a et a; c étant égal an produit XYZ, on

aura

(2«r\ - fxdx I \ dy i'Ldz

ainsi la température moyenne est ( / ] ; car les trois intégrales

totales ont une valeur commune; donc

? V = /siii/i.^y i c k<l + f sin nta f ± e knît +

La quantité na équivaut à £, qui est une racine de l'équation

et \x est égale à -( n — -]■ On a donc, en désignant les différentes racines de cette équation par en e2, . . .,

sinsA

^sines\