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a étanl le demi-diamètre de la sphère; el la quantité e est donnée par l'équation

: lange , a,

// étant le demi-côté du cube.

Cela posé, on considérera deux cas différents : celui où le rayon de la sphère et le demi-côté du cube sont l'un et l'autre égaux à a, quantité très petite; el celui où la valeur de a esl très grande.

Supposons d'abord que les deux corps ont une petite dimension;

ha -ii i-i

ayanl une très petite valeur, il en sera de même de :: on aura donc

donc la fraction e est <^-,Ar à t '"": ainsi les dernières tempéra-

tures que l'on observe ont une expression de cette forme

Ae"tu".

Si maintenant, dans l'équation

l—va>

on suppose que le second membre diffère très peu de l'unité, on

trouve

/; ira

donc la fraction erkn% est e CUa.

On conclut de là que, si le rayon de la sphère est très petit, les vitesses finales du refroidissement dans ce solide et dans le cube circonscrit sont égales et qu'elles sont l'une et l'autre en raison inverse du rayon; c'est-à-dire que, si la température d'un cube dont le demi-côté est a passe de la valeur A à la valeur B dans le temps /, une sphère dont le demi-diamètre est a passera aussi dans le même temps de la température A à la température B. Si la quantité a venait à changer pour l'un et l'autre corps et devenait a', le temps nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur /' et le rapport des temps / et / sciait celui des demi-côtés a et a'.

11 n'en est pas de même lorsque le rayon a est extrêmement grand ;

car e équivaut alors à -? et les valeurs de na sont les quantités -, 2-, >-, .... On trouvera donc facilement, dans ce cas, les valeurs des frac-

3 6». %k-tf> k~-

lions e "'' , e~k"°'\ ces valeurs sont e 4"' et e "s . On tire de là ces deux conséquences remarquables :

i° Étant donnés deux cubes de grandes dimensions, dont a et a soient les demi-côtés, si le premier emploie le temps / pour passer de la température A à la température B, et le second le temps /'pour ce même intervalle, les temps/ et /'seront proportionnels aux canes a-

i II M'I I RE \ III. CI BE SOLIDE. 383

ci (/ - de- demi-côtés. On a trouvé un résultai semblable pour les sphères de grande dimension.

Si un cube a pour demi-côté une longueur considérable a. <•! qu'une sphère ail la même quantité a pour rayon, el que pendanl le temps / la température 'In cube s'abaisse de A à B, il s'écoulera un temps différent / pendanl que la température de la sphère s'abaissera de A ii B; el les temps t el / seronl dans le rapport de 'i ii 3.

Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissenl égalemenl vite lorsqu'ils onl une petite dimension : et, dans ce rus. la durée du refroidissement est, pour l'un et l'autre corps, proportionnelle ii l'épaisseur. Si le cube e1 la sphère inscrite ont une grande dimension, la (luire du refroidissement final n'esl pas la même pour les deux solides. Cette durée est (dus grande pour le culte que pour la sphère, dans la raison de î ;i !: et, pour chacun des deux corps en particulier, la durée du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.

()n a supposé que le corps se refroidi! libremeul dans l'air atmosphérique dont la chaleur est constante. On pourrait assujettir la surface a une autre condition et concevoir, par exemple, que tous ses points conservent, en vertu d'une cause extérieure, la température

fixe O. Les quantités ". />. y. qui entrent dans la valeur de v nhu> le

signe cosinus, doivent être telles, dans ce cas, que nx devienne nulle lui-., pic / reçoit -a valeur complète ", et qu'il en -oit de méine de pv «•t de i/z. Si le ente <lu ciihe y.a est représenté par -, on pourra exprimer uni' valeur particulière de » par l'équation suivante, qui satisfait en même temps a l'équation générale du mouvement de la chaleur et a l'état de la surface,

Cette fonction est nulle, quel que soit le temps /. lorsque x, ou v. ou .oivenl leur- valeurs extrêmes — ' ou : mai- l'expression de la

386 THÉORIE DE L V CH M. Kl li.

température ne peut avoir cette forme simple qu'après qu'il s'esl écoulé un temps considérable, à moins que l'étal initial donné ne soit luimême représenté par la fonction cosœcosy cosz. C'est ce que Ton a supposé dans la Section VIII du Chapitre I art. 100, p. 81). L'analyse précédente démontre la vérité de l'équation employée dans l'article que l'on vient de citer.

On a traité jusqu'ici les questions fondamentales de la Théorie de la chaleur et considéré l'action de cet élément dans les corps principaux. L'ordre et l'espèce des questions ont été tellement choisis que chacune d'elles présentât une difficulté nouvelle et d'un degré plus élevé. On a omis à dessein les questions intermédiaires, qui sont en trop grand nombre, telles que la question du mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme dont les extrémités sciaient retenues à des températures fixes, ou exposées à l'air atmosphérique. On pourrai! généraliser l'expression du mouvement varié de la chaleur dans le cube ou le prisme rectangulaire qui se refroidit dans un milieu aériforme, et supposer un état initial quelconque; ces recherches n'exigent point d'autres principes que ceux qui sont expliqués dans cet Ou-