CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA Cil M. Kl 14. Wl
On trouve tlf la même manière
fcosudu -.
J Tu = Vï'
et, de ces équations, on pourrait aussi conclure la suivante
qui est employée depuis longtemps ' ).
On peut résoudre au moyen des équations i el i le problèm» suivant, qui appartient aussi à l'analyse des différences partielles J Quelle est la fonction Q de la variable <] qui doit être placée sous le
ne intégral pour < 1 1 1 « * l'expression j Q< ■ dq soil égale à une Ponction doni l'intégrale étant prise de q nulle à q infinie? Mais, sans
s'arrêtei .1 ces diverses conséquences, doni l'examen nous éloignerait de noire objet principal, on se bornera au résultai suivant, que l'on obtient en combinant les deux équations (e) et (e). Elles peuvent être uii>. - sous cette forme
-in y t dq I f\ y. | sinqa da
I c)=/ COSqxdql F(a) cosqada.
Si l'on prenait les intégrait - par rapport à « depuis x jusqu'à », le résultat de chaque intégration serait doublé, ce <|ui est une consé quence nécessaire des deux conditions
et 1 I y :
- loin, art I ■ h
.m a donc les deux équations
itf{s)= f sinqxdg f f{a)sinq<
n F ( x ) = / cos q x dq \ F (a) cos?« c?a.
On a remarqué précédemment qu'une fonction quelconque f x) se décompose toujours en deux autres, dont l'une F(*] satisfait a la condition F(a;) = F(-aO, et dont l'autre /(*) satisfait à la condition ^j =y( #). On a aussi les deux équations
o= r'v{a)*inq*d* et o=J /(«)cos^arf«;
on en conclut
ic[F(*)+/(*)]=*9(*)=+ C^9*dq f Xa)tànq*d*
-+- f " cos q x dq f F ( y ) cos 7 y da et
B(p(*) = ftànqxdq f'\ifi)fX*q«da+] COSqxdqj^ T(«)COS7«rf«
OU
ît(p(a.)== r\(y.)dy.i {>\u<i>±\\\qy. + coiq-rco$qy.)d<i
ou enfin Ki y(x) = - o(y.)dy. f cosq{x — a)dq.
L'intégration par rapporl à q donne une fonction de x et a, et la seconde intégration ferait disparaître la variable a. Ainsi la fonction représentée par l'intégrale définie jf'cOBjK* - « dj a cette singulière propriété que. si on la multiplie par une fonction quelconque ?(a) et par da, et si Ton intègre par rapporl à a entre des limites inB-
CB kPITRE IX. DIFF1 SION DE LA (Il VI. Kl R. m
nies- ,e résultai esl égal a -? , : en sorte que L'effet de l'intégration esl de changer a en x el de multiplier par le nombre - (').
i ' île
I cosyi ' — 2 \dq
dont parle Fourier n'a aucune valeur déterminée; car on a
fkCOSq(x-*)da-. ™
h le second membre no tend vers aucune limite lorsque A grandit indéfiniment. Il semble donc difficile daltacher un sens précis à la proposition énoncée dans ce dernier oara graphe. ' ' '
La formule célèbre i E), que donne ici Fourier el à laquelle son nom esl resté atl iché
peu) recevoir une signification très nette lorsqu'on la présente de la manière suiva
•«■•fonction - les que l'on rencontreen Physique mathé
matique, demeurant comprise entre deux limites Qxes lorsque x varie de — « à nayanl qu'un nombre limité de discontinu! maxima ou de minima Désignons i
(exemple de Dirichlel {Journal de Crelle, t. 17), pai ?(*-+-o)ta limite de?(* A)ei -o) la limite de • r - h) lorsque h tend vers zéro par des valeurs positives énoncer les propositions suivantes :
L'intégrale double
1 V'I(A - / ?(«W" COSq(x-«)dq l /' dq /'\ -,,,..., a)da
ou h cm un nombre positif et où Ion a B A. tend vers une limite déterminée J \ I; < 8 B'A( l!; ~ ''fi»*», h grandit indéfiniment. Cette limite est -[*(*-i-o)-«-»(j o ' - - ntreAetB, ' - B o s es égal à B, £T(A-o si , , , \.
que A ou plus petit que li.
1 r" ede là '!"" J A,B,oo)a une Un ninée J i lorsque B et A tendenl
""' m -» et - x. ei qU( , ette limite déterminée est égale à
- continue pour la valeur de a
1 B |,r"'"JV'' ronl alors même que la fom tiendrait
infi"" 'leurs de x, en nombre limit.'. pourvu que I intégrale / '.
demeure finie pour les valeurs de x qui rendent <pf» infinie G D
'#10 THEORIE DE LA Cil \LKI lî.
On pour rail déduire directement l'équation (E) «lu théorème, rapporté dans l'article 234 (p. 23o et 23i), qui donne le développement d'une fonction quelconque f(x) en série de sinus el de cosinus d'arcs
multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la Théorie analytique de la chaleur; il est indispensable d'en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.
La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telle que l'expriment l'équation (E) et les deux équations élémentaires dont elle dérive, donne lieu à diverses conséquences que l'on omettra ici, parce qu'elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d'autres formes. On obtient, par exemple, ce résultat
(E') cp(x)=.- I y{a)dy. I C0S7(.r — <x)dq,
qui diffère de l'équation (E) en ce que les limites de l'intégrale prise par rapport à a sont o et oo, au lieu d'être —oc et -+-oo. Il faut considérer, dans ce cas, que les deux équations (E) et (E') donnent poulie second membre des valeurs égales lorsque la variable x est positive. Si cette variable est négative, l'équation (E') donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n'en est pas de même de l'équation (E), dont le second membre équivaut à o(x), soil que l'on donne à x une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l'équation (E'), elle résout le problème suivant : Trouver une fonction de .< telle (/ne, six est positive, la valeur de la Jonction soit z(x), et que, six t si négative, la râleur de la fouet ion soit toujours nulle.
