AS

La première quantité est plus grande que la seconde, dans le rapport

. 0 he ,

de 3 + -.— a i .

Il faut donc, pour entretenir à la température b le solide donl la superficie communique immédiatement à l'air, plus de trois fois autant de chaleur qu'il n'en faudrait pour le maintenir à la même température b lorsque l'extrême surface n'est pas adhérente, mais distante du solide d'un intervalle quelconque rempli d'air.

Si l'on suppose que l'épaisseur e est infiniment petite, le rapport des quantités de chaleur perdues sera 3, ce qui aurait encore lieu si la conducibilité K était infiniment grande.

On se rend facilement raison de ce résultat; car, la chaleur ne pouvant s'échapper dans l'air extérieur sans pénétrer plusieurs surfaces, la quantité qui s'en écoule doit être d'autant moindre que le nombre

i m \n n;i: i i\ rRODl CTION. ht

des surfaces interposées esl plus grand; maison n'aurail pu porter, à cet égard, aucun jugement exacl si l'on n'eût point soumis la question .m calcul.

(>n n'a point considéré, dans l'article précédent, l'effet de l'irradiation à travers la couche d'air qui sépare les deux surfaces; cependanl cette circonstance modifie la question, puisqu'il y :i une partie de la chaleur <|ui pénètre immédiatement au delà de l'air interposé. Nous supposerons donc, pour rendre I *< » I > j < * t du calcul plus distinct, que l'intervalle des surfaces <•>! vide d'air cl que le corps échauffé esl couver! d'un nombre quelconque de couches parallèles h éloignées les

Unes des nulle-.

Si la chaleur qui sort du solide par sa superficie plane, entretenue à la température b, se répandait librement dans le vide et était reçue par une mu face parallèle entretenue à une température moindre <-/, la quantité qui se dissiperait pendant l'unité «le temps à travers l'unité de superficie serait proportionnelle à la différence b -a des deux températures constantes; celle quantité serait représentée par II b a . Il étant une valeur de la conducibilité relative qui n'esi pas la même que /'.

Le foyer qui maintient le solide dans son premier état doit donc fournir, dan- chaque unité de temps, une quantité de chaleur égale à Il S A ii . Il faut maintenant déterminer la nouvelle valeur de celte dépense dans le cas où la superficie de ce corps serait recouverte de plusieurs couches successives h séparée- par des intervalles vides d'air, en supposant toujours que le solide esl soumis à l'action d'une cause extérieure quelconque qui retient sa superficie à la température b.

ms que le système de toutes les températures esl devenu fixe : soit m la température de la surface intérieure de la première couche qui est, par conséquent, opposée à celle du solide; soient n la température de la surface extérieure de cette même couche, e son

f>8 THEORIE DE L \ Cil ILEUR.

épaisseur el K >a COnducibilité spécifique; désignons au>si par/ra', //', m", n", m , n'", m", niv, . . . les températures des surfaces intérieure et extérieure des différentes couches el par K, e la conducibilité et

l'épaisseur de ces mêmes couches; enfui, supposons que toutes ces surfaces soient dans un état semblable à la superficie du solide, en sorte que la valeur du coefficient H leur soit commune.

La quantité de chaleur qui pénètre la surface intérieure (rime couche correspondante à l'indice quelconque /est IIS (/*/, — m/), celle qui traverse cette couche est - - [mi— ni), et la quantité qui en sort par la surface extérieure est HS(«;-%,). Ces trois quantités et toutes celles qui se rapportent aux autres couches sont égales; on pourra donc former les équations en comparant toutes les quantités dont il s'agit à la première d'entre elles, qui est HS(6 — />*,); on aura ainsi. en désignant par / le nombre des couches,

"ii — 'h = "g- {b — m, ),

m2— res = -jç- (b — m,).

>»j — nj = — (b — m,), n j — a — b — m,.

En ajoutant ces équations, on trouvera

La dépense de la source de chaleur nécessaire pour entretenir la superficie du corps A à la température h est

HS(6 — a)

lorsque cette superficie envoie ses rayons à une surface fixe entretenue

cil M'IIUK I. [NTRODl CT10N. 69

;i la température b. Cette dépense esl

ll> h — 1)1,) OU ||>

• / Il ' \

lorsque l'on place entre la superficie <lu corps A ci In surface fixe entretenue à la température l> un nombrey de couches isolées; ainsi la quantité de chaleur que le foyer doit fournir est beaucoup moindre dans la seconde hypothèse que dans la première, el le rapport de ces

deux quantités esl (| • Si l'on suppose que l'épaisseur e des

COUches M'il infiniment petite, le rapport esl ■ La dépense du lover

eM doue en raison inverse du nombre des couches qui couvrent la superficie.

I. 'examen de ces résultats et de ceux que Ton obtient lorsque les intervalles de> enceintes successives sonl occupés |>ar l'air atmosphérique explique distinctement pourquoi la séparation des surfaces et l'interposition de l'air concourent beaucoup à contenir la chaleur.

Le calcul fournit encore des conséquences analogues lorsqu'on suppose que h' foyer esl extérieur et que la chaleur qui en émane traverse successivement les diverses enveloppes diaphanes et pénètre l'air qu'elles renferment, (l'est ce qui avait lieu dans les expériences où l'un a exposé aux rayons du soleil des thermomètres recouverts pai plusieurs caisses de verre, entre lesquelles se trouvaient différentes couches d'air.

i • -i par mu' raison semblable que la température des hautes régions de l'atmosphère esl beaucoup moindre qu'à la surface du globe.

En général, les théorèmes concernant réchauffement de l'air dans les espaces clos s'étendent a des questions très variées. Il sera utih d'\ recourir lorsqu'on voudra prévoir el régler la température avec quelque précision, comme dans 1rs serres, les étuves, les bergeries,

70 THÉORIE DE I. \ «Il M. Kl R.

les ateliers ou dans plusieurs établissements civils, tels que les hôpitaux, les casernes, les lieux d'assemblée.

On pourrait avoir égard, dans ces diverses applications, an\ circonstances accessoires <|iii modifient les conséquences du calcul, comme l'inégale épaisseur des différentes parties de l'enceinte, l'introduction de l'air, etc.; mais ces détails nous écarteraient de notre objet principal qui est la démonstration exacte des principes généraux.

An reste, nous n'avons considère, dans ce qui vient d'être dit, que l'état permanent des températures dans les espaces (Ins. On exprime aussi par le calcul l'état variable qui le précède, on celui qui commence à avoir lieu lorsqu'on retranche le foyer, et l'on peut connaître par là comment les propriétés spécifiques des corps que l'on emploie ou leurs dimensions influent sur les progrès et sur la durée de réchauffement; mais cette recherche exige une analyse différente, dont on exposera les principes dans les Chapitres suivants.

SECTION Vil.

1)1 MOUVEMENT UNIFORME DE LA CHALEUR SUIVANT LES rROIS DIMENSIONS.

Nous n'avons considéré jusqu'ici que le mouvement uniforme de la chaleur suivant une seule dimension. Il est facile d'appliquer les mêmes principes au cas où la chaleur se propage uniformément dans trois directions orthogonales.

Supposons que les différents points d'un solide compris entre six plans rectangulaires aient actuellement des températures inégales et représentées par l'équation linéaire

v =■ A -+- ax -f- by H es,

oc, y, z étant les coordonnées rectangulaires d'une molécule dont la température est c. Supposons encore que des causes extérieures quelconques, agissant sur les six faces du prisme, conservent a chacune

i II MM l li I I. INTRODl CTION. 71

des molécules qui sonl situées à la superficie sa température actuelle, expi imée par l'équation généi aie

nous allons démontrer que ces mêmes causes qui, par hypothèse, retiennent les dernières tranches «lu solide dans leur étal initial, suffisent pour conserver aussi la température actuelle de chacune des molécules intérieures, en sorte que cette température ne cessera point d'être représentée par l'équation linéaire.

L'examen de cette question est un élément de la théorie générale; il servira à faire connaître les lois du mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide d'une forme quelconque; car chacune des molécules prismatiques dont le corps est composé est, pendant un temps infiniment petit, dans un état semblable à celui qu'exprime l'équation linéaire a . On peut donc, en suivant les principes ordinaires de l'Analyse différentielle, déduire facilement de la notion du mouvement uniforme les équations générales du mouvement varié.

Pour prouver que, le- extrémités du solide conservant leurs températures, il ne pourra survenir aucun changement dans l'intérieur de la masse, il suffit de comparer entre elles les quantités de chaleur qui, pendant la durée d'un même instant, traversent deux plans parallèles, I, la disiance perpendiculaire de ces deux plans que l'on suppose d'abord parallèles au plan horizontal des ,r. Soient m ci ///' deux molécules infiniment voisines, dont l'une est au-dessous du premier plan horizontal el l'autre au-dessus; soient c, y, z les coordonnées de la première et ■•.'.. : les coordonnées de la seconde. On désignera pareillement deux molécules M et M infiniment voisines, séparées pai le second plan horizontal el situées, par rapport a ce second plan, de I., même manière que m et m' le sont par rapport au premier, eYsià-dire que les coordonnées de M sont x, v. .- • A, et celles de M sont / '. v . : />. Il est manifeste que la distance //'/" des deux molécules

72 THÉORIE DE L V Cil WAA R.

/// el ///'est égale à la distance MM' des deux molécules M ci M'; de plus, soient v la température de /// et v' celle de ///', soient aussi V et V les températures de M et M '; il est facile de voir que les deux différences v — v' et V - - V sont égales; en effet, en substituant d'abord les coordonnées de met ///'dans l'équation générale

on trouve

v = A -t- ax -+- h y ■+- cz,

et, en substituant ensuite les coordonnées de M et M', on trouve aussi

Or la quantité de chaleur que m envoie à /«dépend de la dislance //////' qui sépare ces molécules, et elle est proportionnelle à la différence v — v ' de leurs températures. Cette quantité de chaleur envoyée peul être représentée par q{v — v')dt\ la valeur du coefficient q dépend d'une manière quelconque de la distance mm! et de la nature de la substance dont le solide est formé; dt est la durée de l'instant. La quantité de chaleur envoyée de M à M', ou l'action de M sur M ', a aussi pour expression q(\ -- \')dt, et le coefficienl q est le même que dans la valeur q[v — v')dt, puisque la distance MM' est égale à mm' et que les deux actions s'opèrent dans le même solide; de plus, Y — Y' est égal à v — v'; donc les deux actions sont égales.

Si l'on choisit deux autres points n et n' extrêmement voisins l'un de l'autre, qui s'envoient de la chaleur à travers le premier plan horizontal, on prouvera de même que leur action est égale à celles de deux points homologues N et N' qui se communiquent la chaleur à travers le second plan horizontal. On en conclura donc que la quantité totale de chaleur qui traverse le premier plan est égale à celle qui traverse le second pendant le même instant. On tirera la même conséquence de la comparaison de deux plans parallèles au plan des.*-, ou de deux autres plans parallèles au plan des y;. Donc, une partie quelconque du solide, comprise entre six plans rectangulaires, reçoit par

(Il VPITIiK I. INTRODl CTION. 7:5

chacune des faces autant <l»' chaleur qu'elle en perd par la face opposée : donc il n'y a aucune portion du solide qui puisse changer <\c température.

Ou voit par là qu'il s'écoule, à travers un i\v<< plans dont il s'agit, une quantité de chaleur qui est la même à tous les instants, et qui est aussi la même p »ur toutes les autres tranches parallèles.

Pour déterminer la valeur de ce flux constant, nous la comparerons à la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément dans un cas plus simple que nous avons déjà traité. Ce eus esl celui d'un solide compris entre deux plans infinis et entretenus dans un étal constant. Nous avons vu que les températures des différents points de la niasse sont alors représentées par l'équation v= A + es; nous allons démontrer que le flux uniforme de chaleur qui se propage en sens vertical dans le solide infini esl égal ;i Celui qui s'écoule dans le même sens a travers le prisme

compris entre six plans rectangulaires. Celte égalité a lieu nécessairement >i le coefficient c de l'équation v A -\-cs, appartenant au premier solide, e>t le même que le coefficient c dans l'équation plus générale e : \.-\-ax h by-\- es qui représente l'état du prisme. En effet, désignons par H dans ce prisme un plan perpendiculaire aux -, et par /// et y. ileux molécules extrêmement voisines l'une de l'autre, dont la première m est au-dessous du plan II, et la seconde est au-dessus de ce

plan: -oiciit e la température de ///, dont les coordonnées sont X, y,

tu la température de [i, dont les coordonnées sont x -+■ x, y -\ i, ••. Choisissons une troisième molécule y.', dont les coordonnées soient c — x, y — >, z - •;, et dont la température soit désignée par w'. On voit que y et y.' Mint sur un même plan horizontal, et que la verticale élevée sur le milieu de la droite y.v.' qui joint ces deux points passe par le point m, en sorte que les distances un. et un. s,,ni égales.

L'a. ii le m sur y. mi la quantité de chaleur que la première de ces

molécules envoie a l'autre a travers le plan II. dépend de la différence c — w de leurs températures. L'action île /// -iw ■>. dépend de la même