I. IO

7V THÉORIE DE L \ CH VLKl li.

manière <l <- la différence v — w des températures des molécules, puisque la distance de /// à jxesl la même que celle de m à y.'. Ainsi, en exprimant par q{v — w) l'action de /// sur y. pendant l'unité de temps, on aura q{y — w') pour exprimer l'action de m sur p.', q étant un facteur inconnu, mais commun, qui dépend et de la distance no. cl de la nature du solide. Donc la somme des deux actions exercées pendanl l'unité de temps est q(v — w -h v — w''). Si l'on substitue, au lieu de x, yetz, dans l'équation générale

j> = \ ax ■+- by -+- c z, les coordonnées de m et ensuite celles de y. et y.', on trouvera

v — w = — a y. — 6(3 — cy,

v — w' = +aa- • 6 (3 — cy.

La somme des deux actions de m sur y. et de w sur y.' est donc - -iqcy.

Supposons maintenant que le plan H appartienne au solide infini pour lequel l'équation des températures est e = A-hcz, et que Ion considère aussi, dans ce solide, les molécules m, y. et y.' dont les coordonnées sont ,v, y, z pour la première, a? -H a, y-\-$, s-t-y pour la seconde et x — a, y — [3, s + y pour la troisième; on trouvera, comme précédemment,

C — W -+- C — w':= — 2CV.

Ainsi la somme des deux actions de m sur y. et de m sur y.' est la même dans le solide infini que dans le prisme compris entre six plans rectangulaires.

On trouverait un résultat semblable si l'on considérait l'action d'un autre point // intérieur au plan II sur deux autres v et v', placés à une même hauteur au-dessus du plan. Donc la somme de toutes les actions de ce genre, qui s'exercent à travers le plan II, c'est-à-dire la quantité totale de chaleur qui, pendant l'unité de temps, passe au-dessus de cette surface, en vertu de l'action des molécules extrêmement voisines qu'elle sépare, est toujours la même dans l'un et l'autre solide.

i II tPITRE l. INTR0D1 CTION. T.»

Dan- le second de ces corps, qui est terminé par deux plans infinis et pour lequel l'équation îles températures est? : A -+- es, nous savons que la quantité de chaleur écoulée pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque, est K. '• étant le coefficient de ~. et K la conducibilité spécifique : donc la quantité de chaleur qui, dans le prisme compris en lie six plans rectangulaires, traverse pendant l'unité de temps une surface égale à l'unité et prise sur une section horizontale quelconque est aussi -cK, lorsque l'équation linéaire qui représente les températures du prisme

est

V ■/ i by es.

On prouve de même que la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, s'écoule uniformément à travers une unité de surface, prise sur une section quelconque perpendiculaire aux x, est exprimée par

(/K. et que la chaleur totale qui traverse, pendant l'unité de temps, l'unité de surface prise sur une section perpendiculaire aux y est exprimée par — AK.

Les théorèmes que nous avons démontrés dans cel article et dans les deux précédents ne supposent poinl que l'action directe de la chaleur soit bornée dans l'intérieur de la masse à une distance extrêmement petite : il- aillaient eiicuro lieu si les lavons de chaleur eii\o\es

par chaque molécule pouvaient pénétrer immédiatement jusqu'à une distant e assez considérable; mais il serait nécessaire dans ce cas. ainsi que nous l'avons remarqué dan- l'article 70, de supposer que la cause qui entretient les températures des faces <\\\ solide affecte une partie de la masse jusqu'à une profondeur finie.

76 THEORIE DE LA Cil ILE1 H.

SECTION VIII

MESURE IX MOUVEMENT DE LA CHALEUR EN IN POINT DONNE D'UNE MASSE SOLIDE.

Il nous reste encore à faire connaître un des principaux éléments de la Théorie de la chaleur : il consiste à définir et à mesurer exactement la quantité de chaleur qui s'écoule en chaque point d'une masse solide à travers un plan dont la direction est donnée.

Si la chaleur est inégalement distribuée entre les molécules d'un même corps, les températures de chaque point varieront à chaque instant. En désignant par /le temps écoulé et par c la température que reçoit après le temps / une molécule infiniment petite m dont les coordonnées sont .r, y, z, l'état variable du solide sera exprimé par une équation semblable à la suivante :

Supposons que la fonction F soit donnée et que, par conséquent, on puisse déterminer, pour chaque instant, la température d'un point quelconque; concevons que par le point m on mène un plan horizontal parallèle à celui des xy et que, sur ce plan, on trace un cercle infiniment petit (o dont le centre est en m; il s'agit de connaître quelle est la quantité de chaleur qui, pendant l'instant <•//, passera, à travers le cercle o>, de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure. Tous les points qui sont extrêmement voisins du point m, et qui sont au-dessous du plan, exercent leur action pendant l'instant infiniment petit r// sur tous ceux qui sont au-dessus du plan et extrêmement voisins du point //i, c'est-à-dire que chacun de ces points [dates d'un même côté du plan enverra de la chaleur à chacun de ceux qui son! places de l'autre côté. On considérera comme positive l'action qui a pour effet de transporter une certaine quantité de chaleur audessus du plan, et comme négative celle qui fait passer de la chaleur

en \i'i'i i;i: i. - ivruotu CTION. tt

au-dessous du plan. La somme de toutes les actions partielles <|tii s exercent a travers le cercle <•>. c'est-à-dire la somme de toutes les quantités de chaleur qui, traversant un poinl quelconque <lr ce cercle,

passent de la paiiic du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure) compose le llu\ dont il faut trouver l'expression.

Il est facile de concevoir (|iie ce llux ne doit pas être le nièilie dans

toute l'étendue du solide et que, si, en un autre point ///' , on traçai) un cercle horizontal <•>' égal au précédent, les deux quantités île chaleur qui S élèvent aU-deSSUS de ces plans <o et ta', pendant le même instant, pourraient n'être poinl égales; ces quantités sont comparables entre elles et leurs rapports sont des nombres que l'on peut facilement déterminer.

Nous connaissons déjà la valeur du llux constant pour le cas du mouvement linéaire et uniforme; ainsi, dans un solide compris entre deux plan> horizontaux infinis dont l'un est entretenu à la température (i et l'autre a la température l>, le llux de chaleur est le même pour chaque partie de la masse; on peut le considérer comme avant lieu dans le sens vertical seulement. Sa valeur correspondante à l'unité

de surface et à l'unité de temps esl K- -, c désiinianl la distance

perpendiculaire des deux plans et K la conducibilité spécifique; les

température-, de- différents points du sidide sont exprimées par l'équation

Lorsqu il s'agit d'un solide compris entre -ix plans rectangulaires parallèle- deux à deux, el lorsque le- températures des différents points -mit exprimée- pai l'équation linéaire

la propagation a Ion en même temps selon les trois direction- de- ; . de- v et des s; la quantité de chaleur qui s'écoule ii travers une por-

78 THÉORIE l>K I. \ (Il M. Kl lî.

iimi déterminée d'un plan parallèle à celui des xy esl la même dans toute l'étendue du prisme; s;i valeur correspondante a l'unité «le surface cl à l'unité «le temps est — cK ; elle est — /;K dans le sens des y, et — r/K dans celui i\vs x.

En général, la valeur du flux vertical, dans les deux ca> que l'on vient de citer, ne dépend que du coefficient de ; el de la conducibilité

spécifique K; cette valeur est toujours égale à — K--

L'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'instant <7/, s'écoule à travers un cercle horizontal infiniment petit dont la surface est co, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle dans la partie supérieure est, pour les deux cas dont il s'agit,