CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

On \<>ii par lit que l'intégrale

-in//,' 6( cos/ifX) -+- e~n\kt(at -in//../ -. bscosntx) •+■ . . . équivaut a

1 • 1 of, si ii//, r \q \ficl) h OjSin/ij \q\J~ki} . . . ]

\~ ( 6,COS«| c -+- iq \Jki) -+- 6, COS/i, ' ></\ /,/;...'

La valeur <le la série représente, comme on l'a vu précédemment, une fonction quelconque de x — ■?.</ \ kl : l'intégrale générale sera donc exprimée ;iinsi :

%S — fg.

Au reste, l'intégrale de l'équation

,), kd&

I > « - 1 1 1 être présentée m mi s diverses autres formes. Ton les ces expressions sonl nécessairement identiques.

Dl MnUMiiM lllilii: DE LA CHALEUR DANS in SOLIDE INFINI.

L'intégrale <!«• l'équation

dv h ,r 1 dt I D da

fournil immédiatement celle <!<■ l'équation ii quatre variables

dv K d'* d'-< à*\

comme nous l'avons déjà remarqué en traitant la question de la propagation de la chaleur dans un cube solide. C'est pour cela qu'il suffit, ••h général, de considérer l'effet de la diffusion dans le cas d'un solide

'ris THÉORIE DE LA <:il \LKl li.

linéaire. Lorsque lescorpsn'ont point leurs dimensions infinies, la distribution de la chaleur est continuellement troublée par le passage du milieu solide au milieu élastique; ou, pour employer les expressions propres à l'Analyse, la fonction qui détermine la température ne doil pas seulement satisfaire à l'équation aux différences partielles et à l'étal initial : elle est encore assujettie à des conditions qui dépendent de la figure de la surface. Dans ce cas, l'intégrale a une forme plus difficile ii connaître, et il faut examiner la question avec beaucoup pins de soin pour passer du cas d'une coordonnée linéaire à celui des trois coordonnées orthogonales; mais, lorsque la masse solide n'est point interrompue, aucune condition accidentelle ne s'oppose à la libre diffusion de la chaleur : cet élément se meut de la même manière dans tous les sens.

La température variable v d'un point d'une ligne infinie est exprimée par l'équation

(0 V = ~T / e-q'f(* + *q\/i) dq.

x désigne la distance entre un point fixe o et le point m dont la température équivaut à v après le temps écoulé /. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie, et l'état initial de cette barre est exprimé par l'équation v = f[x . L'équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :

. <?c K cJV

dt " (T) (TP '

Mais, pour simplifier le calcul, on écrit

. dv t)-v

ce qui suppose que l'on emploie au lieu de / une autre indéterminée / égale a (|)-

Si, dans une fonction f x\ de x cl de constantes, on substitue