I - / f I ■■ '■■•/ i \n \ i . i '/< v /. : "i\ i dn dpdfj
donne une valeur de i qui satisfait à l'équation aux différences partielles
'.:i> THÉORIE DE I. \ CH U.Kl R.
Supposons maintenant qu'une masse solide sans figure, c'est-à-dire qui remplit l'espace infini, contienne une quantité de chaleur dont la distribution actuelle est connue. Soit
l'équation (jui exprime cet état initial et arbitraire, en sorte que la molécule dont les coordonnées sont ce, y, s a une température initiale égale à la valeur de la fonction donnée F .r, v, r). On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la niasse dont le premier état est donné au moyen de l'équation v = ¥(x, y,z), et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s'agit de connaître quel sera, après un temps donne. le système des températures. Il faut, par conséquent, exprimer la température variable v par une fonction y[oc, y, z, t) qui doit satisfaire a l'équation générale (A) et à la condition
Or la valeur de cette fonction est donnée par l'intégrale
c = it
- I I / e-"'— />•—'/'■ F (a + 2n\ft, y -+- ip \ft , s ■+- %q \ft\ <in dp </>/.
En effet, cette fonction c satisfait à l'équation (A) et, si l'on y fait / = o, on trouve
if1 f j e-"i-i,'-'iiY(.r. y. z)(lii,ljxl>i
ou, en achevant les intégrations,
• HA PITRE IV - D1FFI SI on DE LA CHALEl lî. 131
Puisque la fonction v ou ç v,y,stt représente l'étal initial lorsqu'on y l'ail / o. et qu'elle satisfait à l'équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi l'étal du solide qui a lieu au commencemenl du second instanl : ci, en faisant varier le s<>cond état, "ii eu conclu! que la même fonction représente le troisième
étal du solide et tous les états suivants. Ainsi la valeur de v que l'on
vient de déterminer, contenant une fonction entièremenl arbitraire des trois variables a\ yt -, donne la solution de la question; el l'on ne peut supposer qu'il y ail une expression plus générale, quoique d'ailleurs la même intégrale puisse être mise mhi> des formes très diverses.
Au heu d'employer l'équation
<•=-=/ '' J ' "l\t dq,
on pourrait donner une autre forme à l'intégrale de l'équation
dv <)-j-
et il serait toujours facile d'en déduire l'intégrale <|iii convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l'on obtiendrait serait nécessairement I-' même que le précédent .
Pour donner un exemple de ce calcul, nous ferons usage de la valeur particulière qui mois a servi a former l'intégrale exponentielle.
Reprenant donc l'équation
nous donnerons à p la valeur très simple e " 'cosnx, qui satisfail évidemment ii l'équation différentielle A . En effet, on m tire
V32 THEORIE DE LA ai WAA li.
Donc l'intégrale
e~n*'cosna? dn
convient aussi à l'équation [b)\ car cette valeur de v est formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières. Or l'intégrale précédente est connue, et l'on sait qu'elle équivaul à -j=e '' [voir l'article
suivant). Cette dernière fonction de x et i convient donc aussi avec l'équation différentielle (0). Il est d'ailleurs très facile de reconnaître
immédiatement que la valeur particulière — e " satisfait à l'équation dont il s'agit.
Ce même résultat aura lieu si l'on remplace la variable x par x — a, a étant une constante quelconque. On peut donc employer comme va-
leur particulière la fonction :-e *' , dans laquelle on attribue a oc
une valeur quelconque. Par conséquent, la somme / — =y-c '' rfa
satisfait aussi à l'équation différentielle (6); car cette somme se compose d'une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de v satisfaisant à l'équation [b)
for— y. -
e '*' th.,
A étant un coefficient constant.
Si, dans cette dernière intégrale, on suppose
en faisant aussi A= - —, on aura
ou
e ~ÎT"/(«)rf«
I II tPITRE IX. I » 1 III Sin\ DE I. V Cil VI. Kl lî. On voit par là comment remploi des valeurs particulières
<'-":'l'ti-./, / oïl
conduit ii l'intégrale sous forme finie.
La relation qu'ont entre elles ces deux valeurs particulières se découvre lorsqu'on détermine l'intégrale
C'-"'1 Cn- n i ,///.
Pour effectuer l'intégration, on pourrait développer le facteur cosnx et intégrer par rapport à n. On obtient ainsi une série qui représente un développement connu; mais on déduit plus facilement ce résultat de l'analyse suivante. L'intégrale I ernU cosnx dn se rapportes celle-ci :
/ c'-^'cûsa// // dp.
en supposant n-i = />■ et nx •>/>//. On a ainsi
I e~n'lCO<'i ■' an = — I cosipudp.
On écrira maintenant
/ OS '/"/'//' ' le '-ipi'yf^f/j, L / e-p*-ipus i dp
— ' , I g-pt+tpuT/^ï-t-u* dp -+. -e-": / e-/''-2/"W ' ■">//. = ^e-"; / V //. ' , ■ I , ■■■,■• dp.
Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut \ - . Lu effet, on a, en général,
\ - =J dq,
WV THÉORIE DE LA CHALEl R.
et, pur conséquent,
quelle que soit la constante b. On trouve donc, en faisant b = rç.u^—i et remplaçant y par/;,
donc
/ e-i>° cos 2/?« dp = y/7: <?"\- / e-'1"1 cosnx dn = 1 /- e-"5,
et, mettant pour // sa valeur — ~> on aura
isft
( e-n"'tcosnxdn=i/-e '"'.
Au reste, la valeur particulière -= e u est assez simple pour qu'elle se
présente immédiatement sans qu'il soit nécessaire de la déduire de celle-ci : c-~":'cos«,r. Quoi qu'il en soit, il est certain que la fonction
Te " satisfait à l'équation différentielle
dv div m
dl ~ J^2'
il en est de même, par conséquent, de la fonction --=e " , quelle
que soit la quantité a.
Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la
fonction en ce et t, — e kt , par deux autres fonctions semblables,
l'une en y et /, l'autre en - et en /; le produit doit évidemment satisfaire à l'équation
dv d*v <?!c d-v
dt — àï* + dp + dz*'
i HAPITRE l\. DIFFUSION DE LA CHALE1 K. '.:?>
On prendra donc pour v la valeur ainsi exprimée
Si maintenant on multiplie le second membre par <(?., d$, rfy et par une fonction quelconque / x, ). 7 «les quantités x, |3, 7, on trouvera, en indiquant l'intégration, une valeur de v formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires.
Il suit de là que la fonction v peut Tire ainsi exprimée :
a— xi'-m3 — yii-t-iy — ;i»)
9=1 ! ! t f(a,p,y)d<xd£dy;
cette équation contient l'intégrale générale de la proposée A ). Le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué, parer qu'il s'applique aux cas les plus varies; il est principalement utile lorsque l'intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surrace. En l'examinant avec attention, on reconnaîtra que les transformations qu'il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l'équation (y), changer d'indéterminées;
si l'on prend
on auia, en multipliant le second membre par un coefficient constant A,
t» = a \/'/'/ / i >//v/, » \p\[t,z \q\ft)dndpdq.
Prenant les trois intégrales entre les limites —ce et -1-00 et faisant / = o, afin de connaître l'état initial, on trouvera
Ainsi, en représentant les températures initiales connues par F x, y, z .
«6 THÉORIE DE L\ CHAI. Kl i;
et donnant à la constante A l;i valeur 2 3- 2,011 parviendra à l'intégrale
(I) v = ti ■ I f e-nt-P*-*''F{x-{-2n'i/t, y -yip\ft, z + iq\ft)dn dp dq,
(jui est la même que celle de l'article M'1.
L'intégrale de l'équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes, parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l'on se propose de résoudre.
Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions <p(a?, y, z, t) sont les mêmes lorsqu'elles satisfont l'une et l'autre à l'équation différentielle (A) et lorsqu'elles sont égales pour une valeur déterminée du temps. 11 suit de ce principe que les intégrales qui se réduisent, lorsqu'on y fait / = 0, à une fonction arbitraire Y(x,y,z) ont toutes le même degré de généralité; elles sont nécessairement identiques.
Le second membre de l'équation différentielle (a) était multiplié par
-tjt) et l'on a supposé dans l'équation (b) ce coefficient égal à l'unité.
K t Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d'écrire tttt au lieu
de t, dans l'intégrale (1), ou dans l'intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l'on déduit de ces équations.
La fonction qui sert d'exposant au nombre e dans l'équation (j) ne peut représenter qu'un nombre absolu, ce qui suit des principes généraux du calcul, comme on l'a prouvé explicitement dans la Section IX du Chapitre II (p. i35). Si, dans cet exposant, on remplace l'indéterminée / par ttjt> on voit que, les dimensions de K, C, I) et / par rapport à l'unité de longueur étant — r, o, — 3, et o, la dimension du dénominateur -q- est 2, comme celle de chaque terme du numérateur, en sorte que la dimension totale de l'exposant est o. Considérons le cas où la valeur du temps / augmente de plus en plus; et, pour simplifier
