CHAPITRE IV - DIFFUSIOM l>K LA CHALEUR

voil que la distribution primitive n'a plus d'influence sur les tempe ratures après un temps très long. Elles ne dépendent plus que de la somme H. et non de la loi suivant laquelle la chaleur a été répartie.

Si l'on suppose qu'un seul élément co, placé à l'origine, ;i reçu ht température initiale f ef que tous les autres avaient la température o,

le produit û>y sera équivalent à l'intégrale / f y. <h. ou B. La con-

stante/sera extrêmement grande, puisqu'on suppose la ligne u très

petite.

L'équation

représente lf mouvement qui aurait lieu si un seul élément place à l'origine eût été échauffé. En effet, si l'on donne ii .>■ une valeur quel-

conque ". non infiniment petite, la fonction — =- sera nulle lorsqu'on

supposera / = o. Il n'en sera pas île même si la valeur de r est nulle.

Dan- ce cas, la fonction — — reçoit au contraire une valeur infinie pour

/ = <>. On connaîtra distinctement la nature de cette fonction si l'on applique le- principes généraux de la théorie de- surfaces courbes à la surface qui aurait pour équation

L'équation

exprime donc la température variable d'un point quelconque du prisme lorsqu'on suppose toute la chaleur initiale réunie dans un seul élément placé a l'origine. Cette hypothèse, quoique particulière, appartient a

une question générale, parce que, après un temps assez long, l'état variable du solide est toujours le même que si la chaleur initiale eûl été rassemblée à l'origine. La loi suivant laquelle la chaleur a été distribuée influe beaucoup sur les températures variables du prisme; mais cet effet s'affaiblit de plus en plus et finit par devenir entièrement insensible.

Il est nécessaire de remarquer que l'équation réduite (y) ne s'applique point à la partie de la ligne qui est placée au delà du point m dont la distance a été désignée par X. En effet, quelque grande que soit la valeur de temps, on pourrait choisir une valeur de x telle que

le terme e kt différât sensiblement de l'unité, et alors ce fadeur ne doit pas être supprimé. Il faut donc se représenter que l'on a marqué, de part et d'autre de l'origine o, deux points m et m' placés à une certaine distance X ou — X, et que l'on augmente de plus en plus la valeur du temps, en observant les états successifs de la partie de la ligne qui est comprise entre m et m'. Cet état variable convergera de plus en plus vers celui qui est exprimé par l'équation

(y) v = -±=e~U r'lf{y.)d?..

Quelle que soit la valeur attribuée à X, on pourra toujours trouver une valeur du temps assez grande pour que l'état de la ligne /// om ne diffère pas sensiblement de celui qu'exprime l'équation précédente [y . Si l'on demande que cette même équation s'applique à d'autres parties plus éloignées de l'origine, il faudra supposer une valeur du temps plus grande que la précédente.

L'équation (y), qui exprime dans tous les cas l'état final d'une ligne quelconque, fait voir que, après un temps extrêmement long, les divers points acquièrent des températures presque égales, et que les températures d'un même point finissent par varier en raison inverse de la racine carrée des temps écoulés depuis le commencement de la diffu-