CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR. mI

aion. Les décroissements de la température d'un poin( quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps

Si l'on Faisait usage de I intégrale

i r -vm—" • \ -.1.1.'

pour connaître l'état variable des points de la ligne placés à une grande distance de la portion échauffée el que, pour exprimer cette dernière

condition, on supprimât encore le facteur e 'u , les conséquences que l'on obtiendrait ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion échauffée s'étende seulement depuis y. -.o jusqu'à y g, el que la limite g soit tri'» petite par rapport à la distance ce du point dont on veut déterminer la température, la quantité , . uni

forme l'exposant se réduit bien à , . ; c'est-à-dire une la raison des

deux quantités , , ' et -rrr approche d'autant plus de l'unité que l.i valeur de x est plus grande par rapport à celle de y. : mais il ne s'ensuit pas que l'on puisse remplacer l'une de ces quantités par l'autre dans l'exposant de < . En général, l'omission des termes subordonnes ne peut avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigonométriques. Lesquantités placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le signe exponentiel e, --oui toujours des nombres absolus, et l'on ne peut omettre que les parties de ces nombres dont la valeur esl extrêmement petite: leurs valeurs relatives ne sont ici d'aucune considération. Pour juger si l'on peut réduire l'expression

■ lle-ei :

J y da

m THÉORIE DE LA Cil VLEUR.

il ne faut pas examiner si le rapporl de x à a est très grand, mais si les termes ttt' -rrr sont des nombres très petits. Cette condition a toujours lieu lorsque le temps écoulé t est extrêmement grand; niais elle ne dépend point du rapport

Supposons maintenant que l'on veuille connaître combien il doit s'écouler de temps pour que les températures de la partie du solide comprise depuis x = o jusqu'à x = X puissent être représentées à très peu près par l'équation réduite

i —TT- r+s

v= — 7. =e iU ( f(a)dx,

o et g étant les limites de la portion primitivement échauffée. La solution exacte est donnée par l'équation

(a— .ri»

kkt

zs/Ttkt J0 et la solution approchée est donnée par l'équation

(/) v=—^=e **« ff{z)dz,

2\/Ttkt J0

k désignant la valeur j^ de la conducibilité. Pour que l'équation (y) puisse être en général substituée à la précédente (i), il faut que le

facteur e '*u , qui est celui que l'on omet, diffère très peu de l'unité; car, s'il était 2 ou l, on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit doue

co étant une petite fraction, comme ~— ou --^, on en conclura la