CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALE1 R. \Y.\ condition

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et, si la plus grande valeur g que puisse recevoir la variable a est très petite par rapport à a?, on aura

On voit par ce résultai que, plus les points dont on veut déterminei l.i température au moyen de l'équation réduite sont éloignés de l'origine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soi) grande ('). Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblemenl opérée; c'est-à-dire que l'étal du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la <listribution qui en avait été faite. Les températures îles points assez voi- >in< de l'origine ne tardenl pas à être représentées sans erreur par l'équation réduite y : niais il n'en est pas de même des points très distants de ce foyer. On ne peut alors l'aire usage delà même équation que si le temps écoulé esl extrêmement long. Les applications numériques rendront cette remarque plus sensible.

Supposons que la substance dont le prisme esl formé esl le fer, el que la portion de ce solide qui a été échauffée a om,i d'étendue, en sorte que g 0,1. Si l'on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d'un point m dont la distance à l'origine 1 -1 r", el -1 l'on emploie | ' ce calcul l'intégrale approchée (y), on com

tonnées plus haut montrent - conclusions sont inexac

- 3 de l'origine, la loi représentée par l'équation n

Elle pourra, au contraire, convenir aux points In ridant

ir laquelle - a s, — ayant, au

'■',', THÉORIE DE L\ Cil M. Kl R.

mettra une erreur d'autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la quantité cherchée si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.

Dans ce cas, la distance comprise entre l'origine o et le point /// donl ou détermine la température est seulement dix fois plus grande que la portion échauffée. Si ce rapport est ioo au lieu d'être 10, l'intégrale réduite (y) donnera la température à moins de —^ près lorsque la valeur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que l'approximation

soit admissible, il est nécessaire, en général, i° que la quantité

ne puisse équivaloir qu'à une 1res petite fraction, comme — 1(- ou ,,'„ au plus; 2° que l'erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue beaucoup moindre que les petites quantités que l'on observe avec les thermomètres les plus sensibles.

Lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de la portion du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu'il s'agit de déterminer sont extrêmement petites; ainsi l'erreur que l'on commettrait en se servant de l'équation réduite aurait une très petite valeur absolue; mais il ne s'ensuit pas que l'on soit autorise à faire usage de cette équation; car, si l'erreur commise, quoique très petite, surpasse ou égale la quantité cherchée, ou même si elle en est la moitié, ou le quart, ou une partie notable, l'approximation doit être rejetée. Il est manifeste que, dans ce cas, l'équation approchée \ n'exprimerait point l'état du solide, et que l'on ne pourrait point s'en servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de deux ou plusieurs points.

Il suit de cet examen que l'on ne doit point conclure de l'intégrale

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que la loi de la distribution primitive n'influe pas sur la température des points très éloignés de l'origine. L'effet résultant de cette distri-

i II tPITRE l\. DM II SION DE I. \ < : 1 1 M. Il R. ...i

bution cesse bientôt d'avoir lieu pour les point-- voisins de la portion échauffée, c'est-à-dire que leur température m1 dépend plus que de la quantité de chaleur initiale, el non de la répartition qui en avail été faite; mais la grandeur de la distance ne concourl point à effacer l'empreinte 'If la distribution; elle la conserve, an contraire, pendant un très long temps ci retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l'équation

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oe représente les températures des points extrêmemenl éloignés de la partie échauffée qu'après nu temps immense. Si on l'appliquait sans cette condition, on trouverait «les résultats doubles on triples des véritables, on même incomparablement pins grands on plus petits; ci cela n'aurait pas lien seulement pour des valeurs Mes petites du temps, mais pour de grandes valeurs telles que nue heure, un jour, une année. Enfin cette expression serait d'autant moins exacte, toutes choses égales d'ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la partie primitivement échauffée.

Lorsque la diffusion de la chaleur s'opère dans tous les sens, l'état du solide .m représenté, comme on Ta vu, par l'intégrale

r r r - lg~' r^-*-'?-y^+,y-:>i

/ / / - i y- î,y)d*dpd]

Si la chaleur initiale esl contenue dan- une portion déterminée de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée : et les quantités x, ), 7 qui varient sous le signe intégral ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l'on marque sur les trois axes -i\ points donl les distances sont \. -i- Y, — Z et \, —Y, — /. et que l'on considère les états successifs du solide compris entre les -i\ plans qui passent a ces

'.'.<; THÉORIE DE L \ Cil VLEUR.

distances; on voit que l'exposant de e, sous lo signe d'intégration, se

réduit ;i — ' - lorsque la valeur du temps écoulé augmente

sans borne. En effet, les tenues tels que -m rl </ reçoivent dans ce

cas des valeurs absolues très petites, (tarée que les numérateurs sont compris entre «les limites fixes et que les dénominateurs croissent à l'infini. Ainsi les facteurs que l'on omet diffèrent extrêmement peu de l'unité. Donc l'état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression

'"' ff //(*,£, y) doc d£dy.

^{■Kkty Le facteur

ff f /(<*,£, y) dad^dy

représente la quantité totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l'origine, et dont les dimensions orthogonales et extrêmement petites seraient co,, co2, co3. La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand f, et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le produit co, co^co.,/ équivaut, dans ce cas, à l'intégrale

fff /{*,£, y) dadfldy..

Quel que soit réchauffement initial, l'état du solide qui correspond à une valeur du temps très grande est le même que si toute la chaleur avait ele reunie dans un seul élément placé à l'origine.

Supposons maintenant que l'on ne considère que les points du solide dont la dislance à l'origine est très grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée; on pourrait d'abord penser que cette cou-