CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR. ïkl

dition suffit pour réduire l'exposant de < dans l'intégrale générale. En effet, ce! exposant esl

et 1rs variables se, (3, y sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmemenl petites par rapport à la plus grande coordonnée d'un poinl très éloigné de l'origine. Il suit de là que l'exposant de e se compose de deux parties M ft <x. dont l'une est très petite par rapport à l'autre. Mais de ce que

le rapport esl une très petite fraction on ne peut pas conclure que

l'exponentielle c" J devienne égale à eM, ou n'en diffère que d'une quantité très petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs relatives de M et [/., mais seulement la valeur absolue de fx. Pour que l'on puisse réduire l'intégrale exacte / à l'équation

il est nécessaire que la quantité

' y /■ ■ ' ir ! ) ; — ar— (32— y!

dont la dimension est o, soit toujours un nombre fort petit, si l'on suppose que la distance <lc l'origine au point m dont on veut déterminer la température esl très grande par rapport à l'étendue de la partie qui a été d'abord échauffée, on examinera si la quantité précédente esl toujours une très petite fraction w. Il faul que cette condition soit satisfaite pour que l'on puisse employer l'intégrale approcher

v= II. ',-/./) 'e ;

mais cette équation ne représente point l'étal variable de la partie de la masse qui est très distante du foyer. Elle donne au contraire un

m THÉORIE DE LA CH VLEI It.

résultai d'autant moins exact, toutes choses d'ailleurs égales, que les points (linit on détermine la température sonl plus éloignés du foyer.

La chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la masse solide pénètre successivement les partie- voisines el se répand dans tous les sens; il n'en parvient (prune quantité extrêmement petite aux points dont la distance à l'origine est tirs grande. Lorsqu'on exprime par l'analyse la température de ces points, l'objet <lu calcul n'est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont point mesurables, mais de connaître leurs rapports. <>r ces quantités dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a été distribuée, el l'effet de cette répartition initiale dure d'autant plus que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. .Mais, si les

termes qui t'ont partie de l'exposant, tels que 77- et t-t-j ont des va-

1 1 l l l\ Kl l\ K t

leurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les intégrales approchées.

(.elle condition a lieu dans les questions où l'on se propose de déterminer les plus hautes températures des points dès éloignés de l'origine. En effet, on peut démontrer que, dans ce cas, les valeurs du temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et qu'elles sont proportionnelles au carre de ces distances lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de l'origine. Ce n'est qu'après avoir établi cette proposition qu'on peut opérer la réduction sous l'exposant. Les questions de ce genre seront l'objet de la Section suivante.

DES PLUS HAUTES TEMPÉRATURES l'W» IN SOLIDE INFINI.

Nous considérerons en premier lieu le mouvement linéaire dans une barre infinie dont une portion a été uniformément échauffée, et nous chercherons quelle doit être la valeur du temps écoulé pour