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le coefficienl • qui entre dans l'équation différentielle

ôv K d*v

1 1 1 esl ici encore désigné par /■; quant au coefficient //, il équivaut à ..-A;

on désigne par S l'aire de la section du prisme, par L le contour de cette section et par II la conducibilité de la surface extérieure. En substituant ces valeurs dans l'équation (a), on a

\ v — -^^e" -hl e CDS ;

/ représente la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'au-

Y.y) THÉORIE DE l,\ CH WAA R.

rait un seul point si l'on distribuait également la chaleur initiale entre

tous les points d'une portion de la barre dont la longueur serait h ou,

plus simplement, l'unité de mesure. 11 s'agil de déterminer la valeur

du temps écoulé / qui répond au maximum de température d'un point

donné.

Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l'équation [a la

valeur de ^ et de l'égaler à zéro; on aura

dv , a1 i f

-r- — — /il' + TTTs l' 7

dt |A/J 2 t

i 2 A- i __ bhk

Donc la valeur 0 du temps qui doit s'écouler pour que le point placé à la distance x atteigne sa plus haute température est exprimée par l'équation

Pour connaître la plus haute température V, on remarquera que l'exposant de e~{ dans l'équation (a) est ht-t- ~ Or l'équation [b]

donne donc

ht — -r-,

4Âl 2A^ 2

et, mettant pour - sa valeur connue, on a

x- A II ,

substituant cet exposant de e~s dans l'équation (a), on a

ir-V-.-v^

<\ r.kQ

CH \rt IKI. I\. du il SION qe I. ^ CHALEI I!. 133

et, remplaçant \ /<') par sa valeur connue, on trouve, pour l'expression du maximum \ .

Les équations [c] el rf contiennenl la solution de la question; on remplacerai et k par leurs valeurs ^ë v[ i>: on peut aussi écrire^

au lieu de'(-. en représentant par g la demi-épaisseur du prisme, dont l;l base est :arré. On aura, pour déterminer 0 ci V, les équations

Ces équations s'appliquent au mouvement de la chaleur dans une barre peu épaisse dont la longueur est très grande. On suppose que le

milieu de ce pris a été affecté d'une certaine quantité de chaleur bf,

qui se propage jusqu'au! extrémités el se dissipe par la surface convexe. \ désigne le maximum de température pour le point dont la distance au foyer primitif est x\ 8 est le temps qui s'écoule depuis le commencement de la diffusion jusqu'à l'instant où la plus liante température V a lieu. Les coefficients C, II. K. I) désignent les mêmes propriétés spécifiques que dans les questions précédentes; et g est le demi-côté du carré formé par une section Aw prisme.

si l'on vent rendre ces résultats plus sensibles par une application numérique, on supposera que la substance dont le prisme rst formé *■! le fer, el que le côté 2g du carré est la vingt-cinquième partie d'un mètre.

Nous avons mesuré autrefois, par nos expériences, les valeurs de

'i.Vi THÉORIE l»K L \ CM U.KIH.

Il, K ; celles de C et I) étaient déjà connues. En prenant le mètre pour iiniié de longueur, la minute sexagésimale pour unité de temps et employant les valeurs approchées de H, K, CD, on déterminera les valeurs de V et de 0 relatives à une distance donnée. Pour l'examen des conséquences que nous avons en vue, il n'est pas nécessaire de connaître les coefficients avec une grande précision.

On voit d'abord que, si la distancer est d'environ un mètre et demi

2 H ou deux mètres, le terme r-—oc- qui entre sous le radical a une grande

valeur par rapport au second terme \. Le rapport de ces termes est d'autant plus grand que la distance est plus grande.

Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus simple à mesure que la chaleur s'éloigne de l'origine. Pour déterminer cette loi régulière qui s'établit dans toute l'étendue de la barre, il faut supposer que la distance x est très grande, et l'on trouve

/aH ou

ollK ''

bf /aH\*e xVK«

On voit par la première équation que le temps qui répond au maximum de température croit proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l'onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s'agit) est constante, ou plutôt elle le devient de plus en plus et conserve cette propriété en s'éloignanl à l'infini de l'origine de la chaleur.

On remarquera aussi dans la seconde équation que la quantité