CHAPITRE IV DIFFUSION DE I. V CHALEUR
et, au lieu de cosi — rr—- écrire
COSt COSJ ., Hll/ SIIW jrj
-mi obtient ainsi tous les termes de la valeur de v. Telle e>i la forme sous laquelle doil être mise l'intégrale «le l'équation [a), pour exprimer le mouvemenl variable de la chaleur dans une armille Chap. IV. art. 241, p. j'i | . On considère le cas «ni la forme el l'étendue de la
- tïon génératrice de l 'armille sont telles que les points d'une même
- Mon conservent des températures sensiblement égales. On suppose au>si qu'il ne se fait à la superficie de l'anneau aucune déperdition de la chaleur.
L'équation y. s'appliquanl à toutes le- valeurs de H, on y peut supposer H infini : (die donne, dans ce cas, la solution de la question suivante. L'étal initial d'un prisme solide d'une petite épaisseur el d'une longueur infinie étant connu et exprimé par l'équation
déterminer tous 1rs états subséquents. On considère le rayon K comme contenant un nombre /> de lois le rayon i des Tables trigonométriques. Désignant par y une variable qui devient successivement dq, zdq,
''/y idq, — le nombre infini n sera exprimé par -\ , el le
nombre variable i par J • Faisant ces substitutions, on trouve
c= ~S '''I I '' r'cos<](jc— a)F(a)rfa.
Les termes qui entrent sous le signe - -mu des quantités différentielles, en >orte que <•<■ signe devient celui d'une intégrale définie el
l'on ;i : ' = - / F (xi 'h. e-'/'m.y, | x)dq.
W* THEORIE DE I. V Cil M. Kl II.
Celle équation est une seconde forme de l'intégrale de l'équation (a); elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie (Chap. VII, ait. 354, p. V- • Elle est unr conséquence évidente de la première intégrale (y. .
On peut, dans l'équation (fi), effectuer l'intégration définie par rapport à q\ car on a, selon un lemme connu et que l'on a démon lié précédemment (art. 375, p. 434)»
Faisant donc z- = q-l el h = - -ion trouvera
/ e-«'lcosq(a: — a) dq = 4 /- e 2>' ' ; donc l'intégrale (fi) de l'article précèdent devient
(y) r=— — / e W< ' F(a)rf«.
2 \jTZtJ-a,
Si l'on emploie, au lieu de a, une autre indéterminée fi en faisant on trouve
4= T "e-P'F(a4-2(3s ' rf£.
Celle forme (S) de l'intégrale de l'équation (a a été donnée par M. Laplace dans le Tome YI1I du Journal de l'École Polytechnique \ ' (. Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l'intégrale.
(•) Voir la note p. i i [.
( Il M'I I RE l\. DIFFUSION DE LA t II M.l.l R. 165
Chacune des équations l), (y), S exprime la diffusion linéaire de la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie. Il esl évident que ce -uni trois formes d'une même intégrale, ci qu'aucune ne peul être considérée comme pin- générale que les autres. Chacune d'elles esl contenue il, m- l'intégrale a . donl on la dérive en donnant à \\ une s a leur infinie.
Il est facile de développer la valeur de i déduite de l'équation a en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'une ou l'autre variable. Ces développements se présentent d'eux-mêmes, ii nous pourrions nous dispenser de les rapporter; mais i ls donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche <!»•- intégrales, lui désignant .... Ir> lundi. m-
l'ai
1/1 <li ■•
et v = i f\ dt;
> • • -i un a
la constante représente in une fonction quelconque de x. En mettant pour v sa valeur c 4- / 1 lv dt, et continuant toujours des substitutions semblables, on 1 rou> e
1» = « fi dt
- ■ 1 1 . ,// , dt
= c f[c l fvyidt)dt]
un
Dans cette série, c désigne une fonction arbitraire <-n a .
si l'on veut ordonner le développement <lr la valeur de 1 selon les puissances ascendantes de x, on écrira
dv
et, désignant par 9 . ç- . ç . . . . !<•> fonctions
rf? '/•. -/ p
on aura d'abord
v — a -f- b.r + I dx I '•/li :
a el A représentent ici deux fonctions quelconques de t. On mettra ensuite pour c sa valeur
«;-+- £>,„t + / efo: / >■ '/' •
cl pour v„ sa valeur
aM+bgx+J dxj vuda ,
el ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,
v — a-\- bx + / V/r / r, r/r ^.a + bx-^ fdx f{at+ brr +J dxj v„dx)dx = a + bx+ fdxj\al^b,x+jdxj\ah V b„x +fdx fvadx) dx]dx
OU
f = « + «, - + «* ^34 + "'" rûXë + ' ' •
+ bx + 6, — ~ + 6- --0-7-P + *
Dans cette série, a et b désignent deux fonctions arbitraires de t.
Si, dans cette série donnée par l'équation (X), on met, au lieu de a et b, deux fonctions o{t) et '\>{t), et qu'on les développe selon les puissances ascendantes de t, en ordonnant le résultat total par rapport à ces mêmes puissances de t, on ne trouve qu'une seule Ion ■lion arbitraire de ce, au lieu des deux fonctions a et b. On doit cette remarque à M. Poisson, qui l'a donnée dans le Tome VI du Journal de l'École Polytechnique, page 110 (').
Réciproquement, si, dans la série exprimée par l'équation T . on développe la fonction c selon les puissances de x, en ordonnant le résultai par rapport à ces mêmes puissances de x, les coefficients de ces
( 1 ) Poisson, Mémoire mr les solutions particulières des équations différentielles et de* équations aux' différences. Lu à l'Institut le a3 floréal, an XIII. - Journal de l'École Polytechnique, XIIIe Cahier, t. VI. avril 1806. - Voir aussi la Théorie de la chaleur du môme Auteur, p. 1 33 et sui\ ''■
