CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUK
puissances se trouvenl formés de deux fonctions entièremenl arbitraires de /. ce <|nr l'on peul aisément vérifier en faisant le calcul.
iOO.
La valeur de v, développée selon les puissances de /. ne doit en effet contenir qu'une fonction arbitraire en x : car l'équation différentielle a montre clairement que, si l'on connaissait en fonction de x l.i valeur de v ipii répond à / = <>. les autres valeurs il»' cette fonction v «lui répondent aux valeurs subséquentes de t seraient par cela même déterminées.
Il n'est pas moins évident que la fonction v, étant développée selon !•'«> puissances ascendantes de x, doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires <!«■ la variable /. En effet, l'équation différentielle
da -
montre que, si l'on connaissait en fonction de / la valeur de v qui répond ii une valeur déterminée «le x, on ne pourrait |>as en conclure les valeurs de v <pii répondent à toutes 1rs autres valeurs de x, Il faillirait de plus que l'on donnât en fonction de t la valeur de v qui répond a une seconde valeur de x, par exemple à celle qui est infiniment voisine de la première. Alors tous les autres états de la fonction v, c'està-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de a?, seraient déterminés. L'équation différentielle [a appartient à une surface courbe, l'ordonnée verticale d'un point quelconque étant v et les deux coordonnées horizontales étant xe\ t. Il suit évidemment de cette équation a que la forme de la surface est déterminée lorsqu'on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par l'axe des x; cl cela résulte au->i de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l'étal initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface si elle était seulement assujettie .1 passer par une courbe Ira '■'■ sur le premier plan vertical des t et des » : il faudrait de plus
'.lis THEORIE DE LA Cil VI. Kl I!.
connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, el que l'on peul supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s'appliquent à i ou 1rs les équations aux différences partielles, el l'on voil que l'ordre de l'équation ne détermine poinl pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.
La série (T) de l'article 399, qui dérive de l'équation
dp <r-v
à/ dx*
peut être mise sous coite forme
e —en)i y(x).
On développera l'exponentielle selon les puissances de I), et l'on
écrira -3— au lieu de I)', en considérant i comme indice de différentia-
dxl
lion. On aura ainsi
, , d*-<o(x) t* dwy(x) tà d«o(x)
dx- 2 dx'* 2.3 dx6
Suivant la même notation, la première partie de la série X art. 399 .
qui ne contient que des puissances paires de < . sera exprimée sous
cette forme :
cos(.r y7— D) o(l).
( >n développera selon les puissances de ce, el l'on écrira au lieu de 1) . en considérant i comme indice de différentiation. I. a seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapporl à or el changeanl la fonction o{t) en une autre fonction arbitraire '•]> 0- ^" a
donc
\> = cos{x\/— l))9(0 + NN
et
1 lu mieux
\\ / 1 ... X\ \) l< t)dx (').
« "îïkj »>+(o
« Il \l'l I 1 ; 1 1 l\ DU II SION DE I \ CM M. Kl R '.i;«i
notations abrégées el connues dérivenl des analogies qui existent entre les intégrales el les puissances. Quanl à l'usage que nous en Fai sons ici, il ;i pour objel d'exprimer les séries el de les vérifier sans aucun développement. Il suffît de diflerentier sous les signes que celte notation emploie. Par exemple, de l'équation v = e'u s i on déduit, en diflerentianl par rapport à / seulement,
ai
ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l'équation différentielle a . Pareillement, si l'on considère la première partie de la série \ . en écrivant
l>= COS 'v t>)
on aura, en différentianl deux fois par rapport à . seulement,
dt
Donc cette valeur de » satisfait à l'équation différentielle (a). On trouvera de la même manière que l'équation différentielle
donne, pour l'expression «le » en série développée -don les puissances croissantes de v.
v — COS i i I ) p
Il faut développer par rapport à y et écrire . au lieu de I). En effet on déduit de cette val< ur de <
h cos i I» f - h
La valeur sin vl) l i satisfait aussi à l'équation différentielle : doni la valeur générale de » est
i cos D) (f sin(jD)4
,70 THÉORIE DE l>\ CH WAA R.
Si l'équation différentielle proposée esl
el que Ton veuille exprimer r en série ordonnée selon les puissances de /, on désignera par Dcp la fonction
et, l'équation étant
on aura
V = COs[t<J— D 0!.'.}).
Kn effet, on en conclut
di2 Jr- d/2
Il faut développer la valeur précédente de v selon les puissances de /,
ecrire ( JL + -il Y au lieu de D', et regarder ensuite les exposants \dxi ôy-J
comme des indices de différentiation.
La valeur suivante
/"cos(*y/— D)+(a?, .> l rf/
satisfait à la même condition : ainsi la valeur la plus générale de v est
v — cos ( t v'— D ) cp (x, y) -+- W, où
e est une fonction /.r, v, t) de trois variables; si l'on fait t = o, on a
/(a?, y,o) = <p(a-,y); i ") Ou encore
1 " M'I I " 1 5 ■■"- IX. DM I I MON DE I. \ Cil M.l.l I! ',71
et, désignanl ' I > . » . / par /' v, y.l)t
J Si I équal ion proposée esl
mi .iin.i
la valeur de ven série ordonnée selon les puissances de / sera
«• = COS /D f 1
en désignant ' par !) : car on en déduil
il i • I
La valeur générale de *% qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de i . esl donc
avec
\\ / , os 'h y , dt (•).
Désignanl v par/ r. / . el 'J, par /' se, i , on a, pour déterminer les deux Fonctions arbitraires,
i t o el i
io:!.
Si l'équation différentielle proposée esl
d-v <)■* dlt d''t
"!l désignera par D? la fonction '] \ ' en sorte que DDç ou I)-'-.
• in mieux
'.7-2 THEORIE DE L \ Cil M.lll R.
se formera en élevanl le binôme .—, + , au carré el regardant les
a ' ih -
exposants comme indices de diffërentiation. L'équation < deviendra donc
el la valeur de v, ordonnée selon les puissances de /, sera
cos(*D)<p(;r, y);
car on en lire
ou
dt- ^ dx* il' - <)v- i) \ ■
La valeur la plus générale de v ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en x et y, ce qui est une conséquence évidente de la forme de l'équation, cette valeur sera ainsi exprimée
r = cos(^D)o(.r, y) + y'cos(H) )<l\ ./ y) dt i ' i.
Les (onctions ç el *| sont déterminées comme il suit : en désignant la fonction v par f{x, y, t), et y /(.r, j, / |»ar J\ x, v. / 1, on a
cp ( .r. y i - /( .r, y, o), ({;(#, y) — f,{x, y, o).
Lutin, soi! proposée l'équation différentielle
, ,, dv d*v . div d6f
où les coefticicnls a, A, c ... sont des nombres connus, l'ordre de l'équation étanl indéfini.
La valeur la plus générale de v ne peut pas contenir plus d'une (onction arbitraire en x; car il esl évident par la (orme même de l'équation
1 i i»u encore
/ i^ / s sin(/D) . . . p = cos(fD) «p(x,j)n ^— ii i ... i. G D
