CHAPITRE l\. DIFFUSIOM DE LA CHALEUR. W
que, si l'on connaissail en fonction de x la valeur de v qui répond à i = o, toutes les autres valeurs de c qui répondent aux valeurs successives de / seraient déterminées. <>n aura donc, pour exprimer v, l'équation
«•h désigne par 1) s x l'expression
, il- . <i .
il r- (t.r- il i
c'est-à-dire que, pour former la valeur de »•, il faudrait développer selon Ifs puissances de t la quantité
et écrire ensuite -r- au lieu de y., en considéranl les exposants de a
comme des indices «le différentiation. En effet, celle valeur de v étant différentiée par rapport à / seulement, on a
Il serait inutile de multiplier ces applications d'un même procédé. Pour le- équations très -impie-, on peut se dispenser des expressions abrégées; mais, en général, elles suppléent à des calculs très composés. Nous avons choisi pour exemples les équations précédentes, parce qu'elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l'expression analytique est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les deux premières, a et b . appartiennent à la théorie de la chaleur; les trois suivantes c), (d), {<■ à des questions dynamiques; la dernière f exprime ce que serait le mouvement de la chaleur dans les corps solides si la transmission instantanée n'était pas bornée à une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dan- le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.
kl\ THÉORIE DE LA CB ^LEUR.
On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l'usage du théorème énoncé dans l'article 36J (p. 4<>8\ et que nous allons rappeler.
Si l'on considère l'expression
/ o(x)dxf cosp(x — <x)dp,
%/ — au *J — ao
on voit qu'elle représente une fonction de x\ car les deux intégrations définies, par rapport à a etp, font disparaître ces variables, et il reste une fonction de x. La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l'on aura choisie pour <p(a). On peut demander quelle doit être la fonction ç(a) pour que, après les deux intégrations définies, on obtienne une fonction donnée f{oc). En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions onl pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d'intégration définie en sorte que le résultat de cette intégration soit une fonction donnée. 11 est facile de voir, par exemple, que l'intégrale générale de l'équation
serait connue si, dans l'expression précédente (a), on pouvait déterminer o(a) en sorte que le résultat de l'équation fût une fonction donnée /(x). En effet, on forme immédiatement une valeur particulière de e, ainsi exprimée
v = e~""cos/> ./ .
et l'on trouve cette condition
m =: ap- — bp' -+- cp6 — ....
( >n pourra donc prendre aussi
v = e-""cosp(.v — oc),
dv
div . du>
dH
dt
I HAP1TRE l\. DIFFUSION DE LA CHALE1 R. »7.i
cm donnant à la constante x une valeur quelconque. <>n aura pareillement
\ ,. , .h. l'r COSJ5I I 5t)«Çp.
Il est évident que cette valeur de v satisfait à l'équation différentielle f : elle n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières. Déplus, supposant l = o, on doit trouver pour v une fonction arbitraire de x. Désignant cette fonction par f x , on a
/ i < ff(ot) '/y I COSjOI '■ y I dp.
Or il resuite de la forme de l'équation / que la valeur la plus générale de v ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, cette équation montre clairement que, si l'on connaît en fonction de x la \aleur de v pour une valeur donnée <lu temps /, toutes les autres valeurs de v qui correspondent aux autres valeurs du temps sont nécessairement déterminées. Il s'ensuit rigoureusement que, si l'on connaît en fonction de / et de x une valeur de v qui satisfasse à l'équation différentielle et >i, de plus, en y faisant / = o, cette fonction de x et i devient une fonction entièrement arbitraire de x, la fonction de x et / dont il s'agit est l'intégrale générale de l'équation (/). route la question est dune réduite à déterminer dans l'équation la fonction z- a. en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée / x . Il est seulement nécessaire, pour que la solution -M>it générale, que l'on puisse prendre pour /(x) une fonction entièrement arbitraire, et même discontinue. Il ne s'agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée / i et la fonction inconnue w . Or cette relation 1res simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction z, a
e^t — f y. ; c'est-à-dire qu'on a l'équation
/(■*") = :' / / *)d(z\ cos/Kar — a) dp.
On en conclut, pour l'intégrale générale de la proposée / .
I0I v=— f /(a) dot! e-1 '''■ '■''-■■)cosp(x-y.)r/jl.
Si l'on propose l'équation
qui exprime le mouvement vibratoire d'une lame élastique, on considérera que, d'après la forme de cette équation, la valeur la plus générale de 9 ne peut contenir que deux fonctions arbitraires en .r; car, en désignant cette valeur de 9 par f{x,t), et par /'(*, i) la fonction -f(x,t), il est évident que, si l'on connaissait / r,o) et /' r. o . c'est-à-dire les valeurs de 9 et de ~ au premier instant, toutes les autres valeurs de v seraient déterminées.
Cela résulte aussi de la nature même du phénomène. En effet, considérons dans son état de repos une lame élastique rectiligne : x est la distance d'un point quelconque de cette lame à l'origine 0 des coordonnées; on change extrêmement peu la figure de cette lame en l'écartant de sa position d'équilibre, où elle coïncidait avec l'axe de x sur le plan horizontal; ensuite on l'abandonne à ses forces propres excitées par le changement de ligure. On suppose le déplacement arbitraire, mais très petit, et tel que la figure initiale donnée à cette hune soit celle d'une courbe comprise dans un plan vertical qui passe par l'axe des x. Le système changera successivement de forme et continuera à se mouvoir dans le plan vertical de part et d'autre de la ligne d'équilibre. C'est ce mouvement dont l'équation
exprime la condition la plus générale.
Un point quelconque m, placé dans la situation d'équilibre à la dis-
i il mm i i;i. i\. nui i --ion DE i. v (il vt.r.t it. it:
tance or de l'origine ' • ri sur le plan horizontal, est, à la lin <ln temps /, éloigné de ce point de la hauteur perpendiculaire v. Cet écart variable i> est une Ponction de c et t. La valeur initiale de v esl arbitraire : elle est exprimée par une Ponction quelconque ç a . <>r l'équation rf . déduite des principes fondamentaux de la Dynamique, l'ail connaître que la
seconde Quxion de v, prise pour /. ou '. '. • et la Quxion du quatrième ordre, prise pour a?, ou ' • sont deux fonctions de a? et t qui ne diffèrent que par le signe. Nous n'entrons point ici dans la question spéciale relative à la discontinuité des fonctions; nous n'avons en vue que l'expression analytique de l'intégrale. On peut supposer aussi qu'après avoir déplacé arbitrairement lesdivers points de la lame on leur imprime des vitesses initiales très petites et dans le plan vertical où les vibrations doivent s'accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m, place à la distance x, a une valeur arbitraire. Elle esl exprimer par une fonction quelconque l x de la distance a;.
Il esl manifeste que, si l'on donne : i" la figure initiale Aw système, <>n y x : a0 le> impulsions initiale-, ou la fonction l >■ , tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction e, ou / r, / . <|ni représente, après un temps quelconque /, la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires tp(a? et i i
Pour déterminer la fonction cherchée/ c, t , nous considérons que, dans l'équation
luon peut d inner à v la valeur très simple
u — cosy '/ COS17 r,
ou celle-ci
u — co - / / - -a .
en désignant par q et 2 des quantités quelconques qui ne contiennent ni a m /. < >:i aura donc auss
u = - 1 I < dx J cosq* l cosq > x) dq,
F a) étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites
des intégrations. Cette valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.
11 est nécessaire maintenant que, pour / = o, la valeur de u soit celle que nous avons désignée par/(.r,o), ou <p(a?). On aura donc
çp(aO= f¥(a)da fcosq(a; — a)dq.
II faut déterminer la fonction F(a) en sorte que, les deux intégrations étant achevées, le résultat soit la fonction arbitraire tp(a?). Or le théorème exprimé par l'équation (B) fait connaître que, les limites de chacune des intégrales étant —oc et +=c, on a
Donc la valeur de u est donnée par l'équation suivante :
u — — I <p(x)da cosq'-lcosqix — x)dq.
Si l'on intégrait par rapport à l cette valeur //, en y changeant sp en i, il est évident que l'intégrale, désignée par W, satisferait encore à l'équation différentielle proposée (d), et l'on aurait
W= — f <\>{x)dy. f —,s\nq-tcosq{j" — y) d/.
Cette valeur W devient nulle pour t = o; et si l'on prend l'expression
— — L f ù(a)da. I cos q'- L cos q (.r — y ) dq , dt 2Kj<B T J<B
on voit que, pour t= o, elle devient égale à '|(.r). Il n'en est pas de
du Tt
même de l'expression —; elle devient nulle pour / ==0, et u devient
égal à y(x)>
Il suit de la que l'intégrale de l'équation (d) est
v= — / <p(a)c?«/ cosqit cos? (a; — a)dq + W = « + W
2 7Tj„ J..»
iiiM'iriîi: i\. ihi-ti sin\ de i. \ ciivlkik. r.
avec
I x) tlx I ^iiiy'/cn-y. i y ' , ■
Kn effet :
i" Cette valeur de v satisfait à l'équation différentielle d . • Lorsqu'on l'ait / <>. elle devient égale à la Ponction entièrement arbitraire ^ x .
!" Lorsqu'on l'ail / <> dans l'expression -r-i elle se réduit à une
seconde Ponction arbitraire l x . Donc la valeur de v est l'intégrale complète de la proposée, et il ne peut \ avoir une intégrale plus générale.
On peut réduire la valeur de u à une forme plus simple en achevant l'intégration par rapport à q. Cette réduction et celle d'autres expressions du même genre dépendent «les deux résultats exprimes par les équations i et i , qui seront démontrées dans l'article suivant,
Ou en conclut
7smU + 4^,!
I cosq*tcosqsdq
I Sin^cos?*rf? = y/?sin(|
u- / -m r—rrL - 7 l,J-
Désignant — - par une autre indéterminée '-»., on aura
y. = x -+■ 2 éu. ^ /. '/y ' \ ' 'l-j .
Mettant, au lieu de sin i .' - y.- . sa valeur
.Kl) THEORIE DE L \ Cil M. Kl R.
on aura
{è • u = -= / (sin,u2 + cos/jl2) o{x -t- ■< p \ / I rffx.
Nous avons prouva, dans un Mémoire particulier, que ces intégrales (S) ou (S') de l'équation (d) représentent d'une manière claire el complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique
infinie ('). Elles contiennent l'expression distincte du phénomène el en font connaître facilement toutes les lois. C'est sous ce point de vue surtoutque nous les avons proposées à l'attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s'établissent dans toute l'étendue de la lame, et comment l'effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s'altère de plus en plus en s'éloignant de l'origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l'action des forces propres du système, qui sont celles de l'élasticité.
Les résultats exprimés par les équations (i)*et (2) dérivent des intégrales définies
/ cosa ' d r cl / sin j'2 dx.
Soil
- / cos.r"2 de, h — j sin.A -'</./
et regardons g et // comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre y-\-b au lieu de .r, en désignant par h une constante quelconque, et que les limites des intégrales seront les mêmes. Ainsi l'on a
g= f cos(/24- ihy -+- b-)dv. h — I sin(/! ■ // > b*)dy,
cosj2 coszby cosb-— cos v2 sin 2 6/ sin bl
dy.
sin r2 sin 2 by cos/;2 — sinr2cos.i/; » sin l>'- \
1 II faul joindre à u la partie W qui dépend de la seconde fonction arbitraire el <|iu |i finie .1 la page précédente. (J l>-
I HAPITRE l\. DIFFUSION DE LA CHALEl R. '.si
Or il rM facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le facteur >\n 2 /> \ sont nulles si 1rs li unies si >ni x el -+- x : car si m i by change de signe en même temps une v. On a donc
ly-cosibydj sin 6* / sin 1 ' cos ■ b » dj .
L'équation en // donnera aussi
omettanl encore les termes qui contiennent sin-.> /m-, on aura
1 sin y* cosaôi cost1 cos 1 -' cos 1 b 1 sin 6S / 1 cos ' -m ■ 6 r cos //- . sin/' sin 26 y sin 6 )
A = cos ô1 / sin » J ri >•« > /< y dy ■■- -m /'J / cos y* cos 26) </> .
Les deux équations a el A donnenl donc en g cl h les deux intégrales
cosa b y dj . / sin > ; cos î b 1 '/1
que nous désignerons respectivement par A el B. On fera ensuite
1 /'•'/, e| ibj l'Z. OU 1 /' \ '• b
< )n a donc
\t I COSp*tCOSpzdf : A, \/ / ^\l\/>-/ io</>: ///> lî.
On déduit immédiatement les valeurs de <? el // du résultai connu
Kn effet, cette dernière équation esl identique et, par conséquent, m ssera point de l'être lorsqu'on mettra au lieu de x la quantité
s- 1 ! -± !,| :,/, ! V [j-{eos;> v ,.,„, 0
cette substitution donn<
\H2 THEORIE DE L \ Cil M. Kl 1',.
Ainsi la partie réelle du second membre de cette dernière équation esl \ -, ci la partie imaginaire est nulle. On en conclut
\ •-. I COSjs dy — f sinj- dy cl o = f cos/2 dy — j ^in >-'/. , OU
cos/2 rf/ = g= y - , j si../2 dy =h = U - ■
Il ne reste plus qu'à déterminer, au moyen des équations (a el b),
les valeurs des deux intégrales
f cosy2 cos2by dy el / sin/2 si d 2 // / <7> .
Elles seront ainsi exprimées :
/■+■ 00 cos/2 cos 2 &/ dy = A sin b2 -+- £• cos 62,
B = / sin/2 cos 2 ^j^/r = /icosi2 — £"sin 6'-. On en conclut
- cos 7- -h sin 7- »
/ cosp2tcospzdp = i/
f m s'in^tcosPzd^=\/Tt(cost~s'mh}
Ecrivant sin 7' ou cos 7" au lieu de i/ - > on a j 4 V 2
(1) | cos/?2* cos pz dp — i / - sin ( 7" 4- f- )>
(a) / ^npHcospzdp = i/-is\n('i- —Y
La proposition exprimée par l'équation (B) (art. 404, p, '17V ou par l'équation Iv (art. .'Ml, p. \oS , tj « i nous a servi à découvrir cette intégrale (0) et les précédentes, s'applique évidemment à un plus
