CHAPITRE IX. DIFFUSION DE LA CHALEUR. '.s

grand nombre de variables. En effet, dans l'équation générale

ar)= — / f(a)dx ! cosp(x — %)dp

MU

f(x) ~ -' / dp I cos/>i c y i f(a)rfa,

on peul regarder /(a; comme une fonction de deux variables x el y. La fonction/ se sera donc une fonction de y. el v. I >n regardera maintenant cette fonction/ ?.. v comme une fonction de la variable y, el l'on conclura du même théorème 15 p. 47.5

.A *, ■ ■/ / /(a,P)rf«y cosyl , ;,, /,,.

On aura (lune, pour exprimer une loin lion quelconque des deux variables x el v. l'équation suivante :

•.' !.'->T 'lj I f(*>$)dPJ ™sp(a x)dpf cosq(f l)dq.

On formera de la même manière l'équation qui convienl aux fonctions de trois variables, savoir :

;,:l: ' •'•- (jzj f<i"Jd?ff(<x,p,y)dyfcosp{j x)dpfcosq(j i)dqfeosr(s-y)dr,

chacune des intégrales riant prise entre 1rs limites - -ji e( + x>. Il esl manifeste que la même proposition s'étend aux fonctions qui comprennenl un nombre quelconque de variai. les ( ' .

Il nous reste à montrer commenl cette proposition s'applique a la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennenl plus de deux variables.

Par exemple, l'équation différentielle étant

1 - s (BB) et (BBB) appcllenl évidemmenl des remarque3 analogues

nsdéjàprés ., h

W THÉORIE DE LA Cil ILEUR.

on veul connaître la valeur de v, fonction de x, y, t , el telle : i " qu'en supposant t = o, v ou f[.r, y, t) devienne une fonction arbitraire

o(x,y) de x et v; 2° qu'en faisant / = o dans la valeur de ~ OU

/'(.%-, y, i), on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire ty{x,y).

Nous pouvons conclure de la forme de l'équation différentielle (c) que la valeur de v qui satisfera à cette équation et ;m\ deux conditions précédentes sera nécessairement l'intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d'abord à v la valeur particulière

v z= cosmtcospj? cosgy.

La substitution de c fournit la condition

Il n'est pas moins évident que l'on peut écrire

V = COSp(j" — a) cos<7( y — p) COSt\/p2-h 7%

ou encore

v=. I doc I F(a, (3)c?[3 y cos/?(.r — oc) dp I cosq(y — (3) cos£\/y2-+- ysf/y.

quelles que soient les quantités/?, y, a, [3etF(a, [3), qui ne contiennent ni x, ni y, ni /. En effet, cette dernière valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.

Si l'on suppose t = o, il est nécessaire que c. devienne ç ■*'. v). On aura donc

<p(.r, j) = frfa fF(a, (3)ofj3 Ccosp(x — a) dp j cosy(/- (3)rfy.

Ainsi la question est réduite à déterminer F(a,fi) en sorte que le résultat, des intégrations indiquées soit o(.r, y). Or, en comparant la dernière équation à l'équation (BB), on trouve

— ) / dot. j <p(a, (3)rf{3 / cosp(a: — ce) dp I cosg(y — P)dq.