CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR
Donc l'intégrale sera ainsi exprimée :
= [ — j / f/x I :-j\ cosp(x y>>//> j cosqiy—fycosts/p* /'•'>/■
On obtient ;iin>i une première partie // de l'intégrale ; désignant par W
la seconde partie, <|ni doit contenir l'autre fonction arbitraire 'l r. \ .
on aura
ci l'on prendra pour W l'intégrale j mit, en changeant seulement p en l. En effet, // devient égale à a ac, y lorsqu'on fait t - o; et en même temps W devient nulle, puisque l'intégration par rapport à /
change le cosinus en sinus. I).' plus, si l'on prend la valeur de et que l'on fasse i o, la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à -l-t-, y . Ainsi l'équation
e>t l'intégrale complète de la proposée.
On formerait de la même manière l'intégrale de l'équation
div __ div <)v t)' v
il suffirait d'introduire un nouveau facteur
— cosi ; , .
et d'intégrer par rapport à r et 7.
ili).
Soit proposée l'équation
dxi + dyl dz1 "'' il s'agit d'exprimer 1 en une fonction f{x, v, : telle : 1" que / ac,y,o
km THÉORIE DE LA CI! VLEl l!.
soil une fonction arbitraire 9 (.r, y); 2" que, si l'on l'ail z = o dans la
fonction ':/(^r,j,^),on trouve une seconde fonction arbitraire } x,y .
Il suit évidemment de la forme de l'équation différentielle que la fonction ainsi déterminée sera l'intégrale complète de la proposée. Pour
connaître cette fonction, on remarquera d'abord que Ton satisfait à l'équation en écrivant
v — cospx C0S7 y e"tz,
les exposants/; et q étant des nombres quelconques, et la valeur de m étant ± \jp* -+- q%.
On pourrait donc aussi écrire
e = cosp(x — x) cos<7(j — 3) (e-^/'5 ■<-</* -+- e-z\'i'''^'i''), et encore
i'= / <f« / F(a, 3)</S // cos/>(.r — a)cos?(/ — 6)( - ) dp flty.
Si l'on fait :? = o, on aura, pour déterminer F a, 3 , la condition
suivante :
o{x,y)=z i dx Çl£(y./j) iI'-j j cosp ( a? — a) rfp / cos<y( v — 5) r/y; et, en comparant à l'équation (BB), on voit que
On aura donc, pour l'expression d'une première partie de l'intégrale :
11 — 5^-5 / </a fç(a,6)rf|3 l'cosp(x — x) dp fcosq( y — 3) (er ■ < i'1 ~'i: ->- .«-^vV^- ,/y. 077- •' t/
dette valeur de // se réduit à o(.r', ■>') lorsque r = o, et la même substitution rend nulle la valeur de ', ■
On pourrait aussi intégrer par rapport à ^ la valeur de u. et l'on donnerait à l'intégrale la forme suivante, dans laquelle y est une non-
' Il U'ITlil. IV DIFFl >H>\ DE I. V CH Mil lî. velle fonclion arbitraire :
w s / d, ■ i : . . •. / cos/> « %)dp I cosg i - ( =^- )•//
sr + n1
esy/p l ,- \ ■ i ,
rf7
La valeur de w devient nulle lorsque s = o, el la même substitution m
rend l,i Ponction ' , égale ii tL x, y . Donc l'intégrale générale <lc la
proposée esl
Enfin, soit l'équation
d <; ' • ax* oy- (h ■
on veut connaître pour p une l'onction /* r. v, / , qui satisfasse à la proposée < el aux deux conditions suivantes, savoir : i° que la substitution de* odans/ a -.y. t donne une loue lion arbitraire z, x,y :
2° que l;i même substitution dans ' , / x,y,t) donne une seconde fonction arbitraire l x,y .
Il suit évi lemmenl de la forme de l'équation e el des principes que nous avons exposés plus haut que la fonction v, étanl déterminée en sorte qu'elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l'intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction, on écrira d'abord
d'où l'on tire
,),■ ' dx*dj ' ' dyk '
On ;i donc la condition /// />J q2. Ainsi l'on écrira
C = COS/' I COSÇ i COSt /■' ■/
ou
cos/j i a cos^i ' 3 ci - ' /'' 7
• ss THEORIE J)K L V CHALE1 R
ou encore
v— f da /F (a, (3)rf{3 jjcosp{ûe — <x)cosg(j 3)cos(p*/ • qxt)dpdq.
Lorsqu'on l'ail / o, on doit avoir *> = <p -r,y), ce qui serl à déterminer la fonction F(a, (3 . Si l'on compare à l'équation générale (BB), mi trouve que, les intégrales étant prises entre des limites infinies,
la valeur de F(a, (3) est ( — ) çp(a, P). On aura donc, pour exprimer
une première partie // de l'intégrale,
u = ( — ) / dy. / q{x,$)d$ i cosp(x — a)dp f cosq(y — ^)cos{pit -+-qtt)tm
En intégrant la valeur de u par rapport à /, et <]; désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie W de l'intégrale ainsi exprimée :
W=(^-Y f da f"\(a,P)dp f \osp(x-a)dp f \osq(y- fi) ^Ç'J-f^l
Su»l'on fait t = o dans // et dans W , la première fonction devient égale ii -.-'.r, y), et la seconde nulle; si l'on fait aussi / = o dans et dans -— > la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à '\>{oc, y) : donc
Vz= U ■+- W
est l'intégrale générale de la proposée.
On peut donnera la valeur île // une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport \\ p et q. On fait usage, pour ce calcul, des deux équations (i) et (2) que nous avons démontrées dans l'article 407 (p. 482), et l'on obtient l'intégrale suivante :
