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et, par conséquent, elle équivaut aussi à -• Cette proposition est vraie quel que soit le nombre positif/?. Si l'on suppose, par exemple, p = [o, la courbe dont l'ordonnée est - a des sinuosités beau-

coup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l'ordonnée est —; mais l'aire totale, depuis x = o jusqu'à x = oc, est la même.

Supposons maintenant que le nombre p devienne de plus en plus grand et qu'il croisse sans limite, c'est-à-dire qu'il soit infini. Les

sinuosités de la courbe dont — — est l'ordonnée sont infiniment voisines. Leur base est une longueur infiniment petite, égale à -■ Cela étant, si l'on compare l'aire positive qui repose sur un de ces intervalles - à l'aire négative qui repose sur l'intervalle suivant, et si l'on

désigne par X l'abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l'abscisse x, qui entre comme

dénominateur dans l'expression - de l'ordonnée, n'a aucune varia-

tion sensible dans le double intervalle - : qui sert de base aux deux

aires. Par conséquent, l'intégrale est la même que si x était une quantité constante. Il s'ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent esl nulle.

II n'en est pas de même lorsque la valeur de x est infiniment petite,

1 " M1' I RE IV DIFFI Slo\ DE LA CI! VI.Ki i;

Parce 'l'"' l'intervalle - a, dans ce cas, un rapporl fini avec la valeur de t. On connaît par là que l'intégrale

dans laquelle on suppose p un nombre infini, esl entièremen( formée de la somme de ses premiers termes, qui répondenl à des valeurs extrêmement petites de x. Lorsque l'abscisse a une valeur finie \, l'aire ne varie plus, parce que les parties qui la composent se détruisent deui ;i deux alternativement. Nous exprimerons ce résultat en écrivant

l;' quantité w, qui désigne la limite supérieure de la seconde intégrale, a une valeur infiniment petite; et la valeur de l'intégrale esl la même lorsque cette limite est co et lorsqu'elle esl x>.

ÎKi.

Cela posé, reprenons l'équation

." l /' './-^m/'iy '-Ida.

Ayant placé l'axe des abscisses se, on tracera au-dessus de cet axe la ligne.//", dont l'ordonnée esl / y . La forme de cette ligne esl entièrement arbitraire; elle pourrail n'avoir d'ordonnées subsistantes que

dans "' " dans quelques parties de son cours, toutes les autres

ordonnées étant nulles.

°" placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une ligne

courl d<>nl l'ordonnée est ""'/", s désignant l'abscisse et p un

nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le point qui répond à la plus grande ordonnée p, pourra être placé, soit a l'origine o des abscisses y., soit à l'extrémité d'une abscisse quel-

Vos THÉORIE DE LA CH \\-\A I;

conque. On suppose que ce centre esl successivement déplacé, el qu'il se transporte en tous les points de l'axe des oc, vers la droite à partir du poinl o. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe, lorsque le centre est parvenu au poinl a? qui termine une abscisse x de la première courbe.

La valeur de x étant regardée comme constante, ef a étant seule variable, l'ordonnée de la seconde courbe sera

sin/>(a - ' ' a - oc

Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une troisième. a'est-à-dire si l'on multiplie chaque ordonnée de la première par l'ordonnée correspondante de la seconde, et si l'on représente le produit par l'ordonnée d'une troisième courbe tracée au-dessus de l'axe des a,

ce produit sera

sin/xa — .r)

L'aire totale de la troisième courbe, ou l'aire comprise entre cette courbe et Taxe des abscisses, sera donc exprimée par

Or, le nombre/? étant infiniment grand, la seconde courbe a toute- ses sinuosités infiniment voisines; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point r, l'intégrale définie, ou l'aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives et qui se détruisent Avux à deux. En effet, pour un de ces points placés à une certaine distance du point .r, la valeur de /(a) varie infiniment peu lorsqu'on augmente la distance d'une quantité moindre que — ■ H en est de même du dénominateur a- .r, qui mesure celle distance. L'aire qui répond a

l'intervalle — esl donc la même que si les quantités/ a et k — x

l> n'étaient pas variables. Par conséquent, elle est nulle lorsque y. - x

Cil \l'l Nil IV DIFFI SION DE I. V CH \ l.l.l II. '»!»!»

est une grandeur finie. Donc l'intégrale définie | »* • 1 1 1 être prise entn des limites aussi voisines que l'on veut el elle donne, entre ces limites, le même résultai qu'entre »lc-> limites infinies, roui se réduil donc à prendre l'intégrale entre des points infiniment voisins, l'un à gauche, l'autre à droite de celui où y. — x est nul, c'est-à-dire depuis y x <•> jusqu'à y. r <■>. en désignant parœ une quantité infiniment petite. Or, dans cel intervalle, la fonctionna] ne varie point; elle esl égale v el peut être mise bors du signe d'intégration. Donc la valeur de l'expi ession est le produil «le / x par

' -in/' %

prise entre les limites x a <<> el y. x <•>.

Or cette intégrale esl égale à ~. comme on l'a vu dans l'article précédent; donc l'intégrale définie esl égale a ~ / ' .»■ : d'où l'on conclut l'équ ition '

i , ' ' . isinpia

/ . / / x)d<x / COP^l i x)dp.

La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu'elle a toujours été admise par les géomètres. Il sérail facile de présenter la même démonstration sous une autre forme en examinant les changements qui résultent de l'accroissement continuel du facteur p sous le signe -in/' y t . Ces considérations sonl trop connues | r qu'il soit nécessaire de les rappeler.

Il faut surtout remarquer qoe la fonction / i a laquelle cette démonstration s'applique esl entièrement arbitraire, el non assujettie

Les rais article h le ; ne diflerenl p

licitement, un le reconnall immédiat) isidéralions plus rigoui

quelles Lejeune-Dirichlel a établi les propositions de Pourier relali

iquea N ndrous plus loin sui marque. <i. h

;iOO THEORIE DE I. \ Cil M. Kl R.

ii une loi continue. On pourrail donc concevoir qu'il s'agil d'une fonction telle que l'ordonnée qui la représente n'a de valeurs subsistantes

que si l'abscisse X est comprise entre deux limites données a et h\ tontes les antres ordonnées seraient supposées nulles, en sorte que la courbe n'aurait de forme tracée qu'au-dessus de l'intervalle de x " à .v - h, et se confondrait avec Taxe des y. dans toutes les autres parties de son coins.

La même démonstration fait connaître que l'on ne considère point ici des valeurs infinies île x, mais des valeurs actuelles et déterminées.

On pourrait aussi examiner d'après les mêmes principes les cas on la fonction y( a?) deviendrait infinie pour des valeurs singulières de ./ comprises entre des limites données; mais cela ne se rapporte point à l'objet principal que nous avons en vue, qui est d'introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires; il est impossible qu'aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction /(.r] devient infinie lorsqu'on donne à .r une valeur singulière comprise entre des limites données.

En général, la fonction / x) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire. L'abscisse x pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d'ordonnées f[x . Toutes ont des valeurs numériques actuelles, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune; elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité.

Il peut résulter de la nature même de la question et de l'analyse qui s'y applique que le passage d'une ordonnée à la suivante doive s'opérer d'une manière continue. .Mais il s'agit alors de conditions spéciales, et l'équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s'applique rigoureusement aux fonctions discontinues.

Supposons maintenant que la fonction f, x) coïncide avec une certaine expression analytique, telle que sinr, <~r' ou <f(x), lorsqu'on donne a x une valeur comprise entre deux limites a et h, et que toutes

I HAPITRE 1\. DIFFUSION l>K LA (Il VI. Il R. 501

les valeurs A&J x soient nulles lorsque x n'esl pas comprise entre a ci l>: les limites tir l'intégration par rapport à ?.. dans l'équation précédente H . seronl donc x = a, a h : car le résultat serait le même

que pi uir les limites y = — x, a = oc, huiles les valeurs de y 7 étant nulle-, par hypothèse, lorsque a n'est point comprise entre a ci A. On aura donc l'équation

B ./' r)= / p(a)rfa / cos/>! r a) rf/>.

Le second membre de cette équation H est une fonction delà variable -r : car les deux intégrations font disparai Ire les varia Ides y. cl />. et il ne reste que r et les constantes a et A. Or cette fonction équivalente au second membre est telle qu'en y substituant pour a; une valeur quelconque comprise entre a et l> on trouve le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dan- 0 r . et que l'on trouve un résultat

nul si. dan- le second ineuilire, un met au lieu de x une valeur quelconque comprise entre a et b. si doue, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites a et l> par des limites pins voisines a et b', dont chacune fût comprise entre a et l>, un changerait la fonction de x qui équivaut au second membre, et l'effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul tonte- les fois que l'un donnerait a x une valeur non comprise entre a et b'; et, si la valeur de x était comprise entre '/ et l> . un aurait le même résultat qu'en substituant cette valeur de x

dan- z, 1 .

On peut donc varier à volonté les limites de l'intégrale dans le second membre de l'équation H . Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de x comprises entre les limites quelconques a et b que l'un aura choisies; et, si l'on emploie toute autre valeur de x, le second membre sera nul. Représentons s x par l'ordonnée variable d'une courbe dont cesl l'abscisse; le second membre, durit la valeur est y r , représentera l'ordonnée variable d'une seconde courbe dont la figure dépendra des limites a et b. Si ces limites sont x et *■

les deux courbes, donl l'une a pour ordonnée o » , et l'autre a pour ordonnée / x , coïncideront exactement dans toute l'étendue de leur

cours. .Mais, si l'on donne d'autres valeurs a et A ;i ces limites, les deux courbes coïncideront exactement dans tonte la partie «le leur coins qui répond à l'intervalle de x = a à x = b. A droite et à gauche de cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous ses points avec l'axe <les x. Celte conséquence est très remarquable, et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par l'équation (B).

Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l'équation (II) de l'article 234 (p. 2°> i ). Cette équation sert à développer une l'onction arbitraire/(.r) en nue suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples. La fonction f{x) désigne une fonction entièrement arbitraire, c'est-à-dire une suite de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de x comprises entre o et une grandeur quelconque \.

La valeur de cette fonction est représentée par l'équation suivante :

/(*>=i2 f /(«)cos^(*-ct)da.

L'intégrale par rapport à a doit être prise entre les limites a = a et a = b; chacune de ces limites a et b est une quantité quelconque comprise entre o et X. Le signe 2 affecte le nombre entier i, et indique que l'on doit donner à i toutes ses valeurs négatives ou positives,

savoir :

et prendre la somme des ternies places sons ce signe 2. Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable x et des constantes a et h. La proposition générale consiste en ce que : i" la valeur du second membre que l'on trouverait en y mettant, au lieu de a?, une quantité comprise entre a et l> est égale à celle que l'on obtiendrait en mettant celte même quantité au lieu de •<■ dans