CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

la fonction / i : •■' toute autre valeur de x comprise entre <» el \. mais non comprise entre a el b, étanl substituée dans le second membre, donne un résultai nul.

Il n\ a aiii^i aucune fonction/ c . ou partie de fonction, que l'on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.

La valeur «lu second membre esl périodique, el l'intervalle de la |>eriode esl \ : c'est-à-dire que cette valeur du second membre ne change poinl lorsqu'on écrit r — \ au lieu dear. Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle \ .

La suite trigonométrique égale au second membre esl convergente; le sens de cette dernière proposition esl que, si l'on donne à la variable i une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s'approche de plus en plus, el infiniment près, d'une limite déterminée. C'est cette limite <|iii esl zéro, si l'on a mis pour a; une quantité comprise entre zéro el \. mais non comprise entre </ el l>\ et, si cette quantité mise pour a esl comprise entre a el l>, la limite de la série .1 l.i même valeur • 1 1 1 * ■ /" x . Cette dernière fonction n'est assujettie à aucune condition, el la ligne dont elle représente l'ordonnée peul avoir une forme quelconque; par exemple, celle d'nn contour formé d'une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que, les limites a et b, l'intervalle total X el la nature de la fonction étanl arbitraires, cette proposition a un sens très étendu: el comme elle n'exprime pas seulemenl nue propriété analytique, mais qu'elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue et d'en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de ce théorème dans le cours de cet Ouvrage. Celle que nous rapporterons dan- un des articles suivants art. rl'.\ a l'avantage de s'appliquer aussi à des fonctions non périodiques.

Si l'on suppose l'intervalle X infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles; la somme indiquée par le signe — devient une intégrale définie, comme on le voil dans les articles 353 el 355; et l'équation \ se transforme dan- l'équation 15 . Ainsi cette der-

504 THEORIE l>K L \ CHALEUR.

nière équation H est contenue dans la précédente el convienl au cas où l'intervalle X est infini : alors les limites a el A sont évidemment • les constantes entièrement arbitraires.

Le théorème exprimé par l'équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l'objel de cet Ouvrage; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.

On voit que, dans le second membre de l'équation

/(*) = — / /(«) dy- f cosp(x - «) dp,

la fonctionna) est tellement transformée que le signe de fonction/ n'affecte plus la variable oc, mais une variable auxiliaire a. La variable x est seulement affectée du signe cosinus. 11 suit de là que, pour différentiel- la fonction /(x) par rapport à .r, autant de fois que l'on voudra, il suffira de différentiel* le second membre par rapport à x sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par i un nombre entier quelconque,

dli f( r) i r1' r+x

^J=±j f(a)daj p»cosp{a:-oL)dp.

On écrit le signe supérieur lorsque i est pair, et le signe inférieur lorsque i est impair. On aura, en suivant cette même règle relative au choix du signe :

dJ:r =+ {- / /•(«) d« i PiM ^P(.r - «> dp.

^ et *^ — x

On peut aussi intégrer plusieurs fois de suite par rapport à x le second membre de l'équation (B); il suffit d'écrire au devant du signe sinus ou cosinus une puissance négative de />.

La même remarque s'applique aux différentiations finies, ou aux

intégrales designées par le signe -, el en -encrai aux opérations ana-