CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

lytiqucs qui peuvenl s'effectuer sur les quautités Irigonométriques. Le caractère principal du théorème donl il s'agil esl de transporter le - général de fonction à une variable auxiliaire, el de placer la variable r sous le signe trigonométrique. La fonction/^ acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés îles quantités trigonométriques; les différentiations, les intégrations el la sommation des suites s'appliquent ;iinsi à des fonctions générales de la même manière qu'aux fonctions trigonométriques ou exponentielles. Ces! pour cela que l'emploi de cette proposition donne immédiatement le> intégrales des équations à différences partielles à coefficients constants. En effet, il esl évident que l'on peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l'expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi, comme on l'a vu dans l'article 113 p. \gi . un moyen facile de sommer les suites infinies, lorsque ces suites contiennent les différentielles suc< on les intégrales successives d'une même

fonction : car la sommation de la suite esl réduite, par ce procédé, à celle 'l'une suite de termes algébriques.

< >n peut aussi faire usage du théorème dont il s'agit pour substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Cette question d'Analyse s'est présentée dès l'origine du calcul <\r> différences partielles, el nous l'indiquerons ici parce qu'elle ;i un rapport plu- direct avec notre objet principal.

Si. dans la fonction / > . on écrit y. • - ■> \ i ;m lien de r, le résultat sera formé de deux parties s — -y \ — i . Il s'agit de connaître en y. et / chacune des deux fonctions a et l. On y parviendra facilement si l'on remplace/ x par l'expression

— / /( yo/y I y. '//,;

car la question sera réduite à substituer ;j. + vv ~ " au lieu de x sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel cl le coefficient de \j — i.

On aura ainsi

= — /(*)rf*/ COs[/7(fA — «) ~hpV\f- l\ttp

= ' rmf(*)d* rr\<c"' + e-'»)cosp(iJ.-7.)- \ =^(e^-« "v)sin/>(f* -«)]<*/>;

donc

o = + 7- / /"(a) rfa / ( e/,v + e~*v ) cos/; | ;j. — a I '//'.

~\~J-X -'-oc

/(a) rf« / l e*v — e-^v ) sin p ( [a — a) d>>.

Ainsi toutes les fonctions f{x) que l'on peut concevoir, môme celles qui ne sont assujetties à aucune loi de continuité, sont réduites à la forme M + Nvcri, lorsqu'on y remplace la variable x par le binôme

u. + vv/- i (')•

Pour donner un exemple de l'usage de ces dernières formules, nous considérerons l'équation

djc- dyz

qui se rapporte au mouvement uniforme de la chaleur dans une fable rectangulaire. L'intégrale générale de cette équation contient évidemment deux fonctions arbitraires. Supposons donc que l'on connaisse en fonction de* la valeur de r lorsque y = o, et que l'on connaisse aussi. par une autre fonction de x, la valeur de -£- lorsquej' = o; on peu!

(i) Les intégrales données ici par Fourier ne peuvent avoir aucun sens, puisque les éléments de es intégrales ne tendenl pas vers zéro ci dépassent même toute grandeur donnée lorsque p grandii indéfiniment. '■• "•