CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

déduire l'intégrale cherchée de celle de l'équation

qui r>i connut' depuis longtemps; mais on trouve des quantités imaginaires -» » u > le signe * 1 * - fonction. Cette intégrale esl

La seconde partie W de l'intégrale dérive de la première en intégranl par rapport à v, el changeant r en l. Il reste donc à transformer les quantités ç v^- i) et <p c — y\ i , afin de séparer les parties

réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l'article précédent, on trouve, pour la première partie // de l'intégrale,

il . I f(tx)d« I COSO F — « w//'.

ci. par '-"ii iéquent,

W=—l I y dot j -e-py)cosp(a; — a)-^-

L'intégrale complète de la proposée, exprimée en termes vcc\<<, csi donc

«■I l'on reconnaît en efTel : i° qu'elle satisfait à l'équation différentielle; a qu'en y faisant j o, elle donne v f > ■. \° qu'en faisant y o dans la fonction -.- • le résultai esl F i .

Nous ferons aussi remarquer que l'on peul déduire de l'équation H une expression très simple du coefficient différentiel de l'ordre indéfini j- ■/ a . mi de l'intégrale / / i da .

L'expression cherchée esl une certaine fonction de x el de l'ini. Il s'agil de connaître cette fonction sous une forme telle que le

508 THÉORIE l>K LA Cil UAA R.

nombre î n'y entre poinl comme indice, mais comme une quantité, afin «le comprendre dans une même formule tous les cas où l'on attribue à i des valeurs positives ou négatives quelconques, l'une y parvenir, nous remarquerons que l'expression

/ . - . ir. . . i-

cos [r -t- i - ou cos/cos siu/sin —

devient successivement

— shw, — cos/-, -4-siiw, -+-cos/\ — sinr, ...

si les valeurs respectives de i sont i, 2, i, /j, 5, .... Les mêmes résultats reviennent clans le même ordre lorsqu'on augmente la valeur de i. Il faut maintenant, dans le second membre de l'équation

f(x) = -- I f{y.)(h. I cos/?(.x — a) dp,

écrire le facteur pl au devant du signe cosinus, et ajouter sous ce si-ne le terme H — -■ On aura ainsi

ïf(x)=-^j f{*)daj cosfpx— p a -h i^jp1 dp.

Le nombre i qui entre dans le second membre sera regardé comme une quantité quelconque, positive ou négative.

Nous n'insisterons point sur ces applications à l'Analyse générale: il nous suffit d'avoir montré par divers exemples l'usage de nos théorèmes. Les équations du quatrième ordre (d) (art. Î05, p. '17G) et e fart. 401, p. I71) appartiennent, comme nous l'avons dit, à des questions dynamiques. On ne connaissait point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les avons données dans un Mémoire sur les vibrations des surfaces élastiques, lu à la séance de l'Académie des Sciences le 6 juin 1816 (art. VI, § 10 et 11, et art. VII, § 13 et 14 :').

(') La date indiquée ici par Fourier est inexacte; nous nous en sommes assuré en consultant les procès-verbaux des séances de l'Académie des Sciences. En réalité, le Mémoire

CH U'ITIU. l\. DIFFUSION DE LA CHALEl I!. 509

Elle staient dans les deux formules S el 8 art. K)6,p. ,-mh

i8o el danslesdeux intégrales exprimées, l'une par la première équation de l'article 112 p. Î88 , l'autre par la dernière équation du même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations de ces mêmes résultats. Ce M. ■mon.' contenail aussi l'intégrale de l'équa- ","1 '• art. Ï09, p. ,si S0Us la forme rapportée dans cel article. Quant à l'intégrale ffl de l'équation a art. 113, p. ',s«, ri j,, i . elle est ici publiée pour la première fois.

Les propositions exprimées par les équations tt el A art. 417

el ils. p. 5oi el ïo2 . dont nous avons n tré diverses applications,

peuvenl être considérées sous un poinl de vue plus général. La construction indiquée dans les articles H.', ci 116 p. 195 el |.i'» ne s'applique pas seulemenl à la (' ïtion trigonométrique yt"f>(x~~-r) ■ e\\e

eonvienl à toutes les aune- fonctions el suppose seulemenl que, le nombre p devenanl infini, on trouve la valeur de l'intégrale par rapporl a y. en prenanl cette intégrale entre des limites extrêmemenl voisines. Or cette condition n'appartienl pas seulemenl aux fonctions trigonométriques : elle s'applique à une infinité d'autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire/ • sous diverses formes très remarquables; mais nous ne faisons poinl usage de transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.

Quanl à la proposition exprimée parl'équation \ art. ils. p. ;02 . il esl égalemenl facile d'en rendre la vérité sensible par des construct,onsJ ' ' e'esl pour ce théorème que nous les avons d'abord employées. Il suffira d'indiquer la marche de la démonstration.

du8juin 1818. l Lravailn'a] | „ exlraii

VotereL vibrations des mrfaecs élast