CHAPITRE IX DIFFUSION DE LA CH M.l.l II. .in

quicstégalea •- ■ t art. U5et356,p. \cfi el &o3 . On en conclu! l'équation précédente V ' .

Lorsque la variable t esl précisément égale à -, ou -. la construction fa il connaître quelle esl la valeur du second membre de cette équation \ .

Si les limites de l'intégration ne sont pas tc el • tc, mais d'autres

l »rale

/ i 2 ' sin/r — — f/z

Mil \ /•

peu ss - mettre - a me

/ - . tir.

- , Sin \ r

ier montre ici, par les rais - ts dans le fond, bien que manquanl de pre-

- n, que, lorsque le nombre y croît indéfiniment, cette intégrale n'a de valeurs sub

"- ' ' r«e pour de certains intervalles infinimenl petits, ceux pour lesquels l'ordonnée -

^-^ devient in .Dapi - si la variable x est comprise entre ic el - ■

-m \ r devient infinie pour la seule valeur zéro donnée à r, el l'on a, pour la limite,

/ ùnjrJLdr= ■■ , /' 'gin/r — |/(x) f'shyr-

n rier indique aussi que la méthode s'applique aux valeurs limites - - et -+- - En

-s. Dans ce cas, l'intégrale donl il s'agil d'obtenir la limite -

rÏT.

i sin/* ,

I - deviendra infini pour r - o et pour r - ■;-. En réduisanl 1 intégrale à - 1 *,lleu: es limites, on a, pour r = o,

- / Ml,//-'/' =ît/(— w) •ur r = -2-, on remplaçant r par 2r — / •'.

La valeur limite de l'intégrale es

I rconsidèi aussi le cas où les limites de l'intégration nent un intervalle

M-2 THEORIE DE L V CH Mil I!.

nombres a et h, dont chacun est compris entre - - - et • -, on voit par la même figure quelles sont les valeurs de x pour lesquelles le second membre de l'équation (A) est nul.

Si l'on conçoit qu'entre les [imites de l'intégration certaines valeurs de y. deviennent infinies, la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. .Mais nous ne considérons point ici les cas de celle nature, parce qu'ils n'appartiennent point aux questions physiques.

Si. au lieu de restreindre les limites — - et -t-it, on donne plus

supérieur à i-, et il indique que « le second membre de l'équation - A 1 est alors formé de plusieurs termes et donne le résultai d'une intégration (c'est-à-dire d'une sommation 1 finie, quelle que soit la fonction /(.r) ».

Considérons, en effet, l'intégrale

s, \ • ■ sm'' 1 J J sm \ r

ou

I l\ X t- r 1 sin/> - ,. - <Ir.

/ .„ sin\ r

el -opposons que la différence V — a soit supérieure à 21t. Alors il y aura plusieurs inter-

sm;'

\ ailes infiniment petits pour lesquels l'ordonnée '.' ., deviendra infinie. Soient

1 sm \ r

les valeurs correspondantes de r. En général, aucune de ces valeurs n'esl égale à la limite inférieure ou à la limite supérieure de l'intégrale. Uors, en appliquant la méthode de Fourier. on trouvera

ait[/(*)+/(*+ait)-H...-f-/(ar-t-aAic)]

pour la limite de l'intégrale. Tel est le résultat de « l'intégration » dont parle Fourier dans le passage cité. Si une des valeurs de o ou ih- est égale à une des limites de l'intégrale, il faudra remplacer le terme correspondant par sa moitié.

Telle- sont les règles qui résultent de la construction; elles auraient mérité d'être énoncées, au lieu d'être simplement indiquées. bejoune-Dirieldel, nous croyons utile de le répéter, a suivi précisémenl la marche qui est indiquée ici par Fourier, mais en apportant dans les raisonnements une extrême précision, qui était d'ailleurs bien nécessaire dans une question aussi importante. Loin de nous la pensée de méconnaître le progrès réel et considérable apporté par les Mémoires de Dirichlet, dans un sujel où les efforts de Poisson el de c.aucln n'avaienl pas été couronnés d'un plein succès. Mais il nous parait juste de remarquer que Fourier. avec ce sens si profond des questions de philosophie naturelle qui doit exciter noire admiration, avait indiqué el même parcouru, bien qu'à pas incertains, la voie dans laquelle on devait trouver la première démonstration exacte des résultats fondamentaux que lui doit la Physique mathématique. G. I).

i il vi'i 11; 1 . i\ nui i >n>\ DE i. v CH u.f.i i;. 513

d'étendue a l'intégrale, en choisissant « 1 * * — limites plus distantes a el b . on connail par la même figure que le second membre « I * • l'équation A est formé de plusieurs termes, e( donne le résultat d'une intégration finie, quelle que soit la fonction y( a .

On trouve des résultats semblables si l'on écrit ." x - x\ au lieu

de /■. el si les limites de l'intégration sont — \ el i \.

Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on rsi parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions différentes de sinyr. Il suffit que ces fonctions reçoivent «les valeurs alternativement positives el négatives, en sorte que l'aire devienne nulle

lors iue / croît sans limite. On peut faire varier aussi le facteur . ,— >

ainsi que les limites de l'intégration, el l'on peul supposer que l'intervalle devient infini. Ces sortes d'expressions sont donc très générales el susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements; mais il étail nécessaire de montrer

l'emploi des coii-.iiu.iinu-> : car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s'élever sur les valeurs extrêmes el sur les valeurs singulières; elles n'auraient pu servir à découvrir ces théorèmes, mais elles les démontrent el en dirigent toutes les application-..

Non- avons encore à faire envisager ers mêmes propositions sonun autre point de vue. Si l'on compare entre elles les solutions relatives au mouvement varié de la chaleur dans l'armille, la sphère, le prisme rectangulaire, le cylindre, on voit que nous axions à développer une fonction arbitraire/ x en une suite <lc termes tels que

La fonction y, qui, dans le second membre de l'équation A , est un cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction qui peul être très différente du sinus. Les nombres [&,, y... ■)- au lieu d'être

.i 1 V THEORIE DE LA Cil AL Kl R.

des nombres entiers, sont donnés par une équation transcendante dont les racines, en nombre infini, sont toutes réelles. La question consistai! ;i trouver les valeurs des coefficients <ts,<t,, ait ...; on y est parvenu au moyen des intégrations définies qui l'uni disparaître toutes les inconnues excepté une seule. Nous allons examiner spécialement la nature de ce procédé et les conséquences exactes qui en dérivent.

Afin de donner à cet examen un objet plus détermine, nous choisirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu (art. 290, p. 3 12) que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coefficients

alt a>, a3, . . . , dans l'équation

(e) xF(x) = «! sin/a, x -t- rr> sin y..,.r ■+• a% sin/Xj.r -)-....

La fonction F(x) est entièrement arbitraire; elle désigne la valeur e de la température initiale et donnée de la couche spherique dont le rayon est x. Les nombres ut.,, p.2, ... sont les racines u. de l'équation transcendante

(/') fXv=i-AX.

w ' tangu\

X est le rayon total de la sphère; h est un coefficient numérique connu, d'une valeur positive quelconque. Nous avons prouve rigoureusement, dans nos premières recherches, que toutes les valeurs de p., ou les racines de l'équation (/), sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie générale des équations et n'exige point que l'on suppose connue la l'orme des racines imaginaires que toute équation peut avoir. Nous ne l'avons point rappelée dans cet Ouvrage, parce qu'elle est suppléée par des constructions qui rendent la proposition pins sensible. Au reste, nous avons traité celle même question par l'Analyse, en déterminant le mouvement varié de la chaleur dans un corps cylindrique (art. .'{()<S. p. 335 et 336). Cela pose, la question consiste à

i II U'1 I Kl. I\. DIFFUSION DE I \ CH M.l.l R. I

trouver pour a,, </:. a3, ... des valeurs numériques telles que le second membre de l'équation i devienne nécessairement égal a ,• i i lorsqu'on \ mettra pour x une valeur quelconque comprise entre <> el la longueur totale \ ,

Pour trouver le coefficient a,, nous avons multiplié l'équation < par siii'j. vdac, el ensuite intégré entre les limites a o, i \. el nous avons démontré art. 291, p. Ii3 que l'intégrale

/ si n ju r si u fi v da

a une valeur nulle toutes le- t « » i > que les indices i ri j ne sont point les mêmes; c'est-à-dire lorsque les nombres \j., ci y., sonl deux racines différentes de l'équation /' . Il suil de là que, l'intégration définie faisant disparaître tous !<■- ternies du second membre excepté celui <|iii contient n . on a. pour déterminer ce coefficient, l'équation

f i V i ■ -in y / '// " j -in 'y. / dj .

Mettant cette valeur du coefficient <i, dans l'équation e . on en conclut l'équal ion identique

j y.\'iy> -in y, y. dot.

i \ ' > -in -j / — j—

/ -m y 3tfj3

Il faut, dan- I' second membre, donner à i toutes ses valeurs, c'està-dire mettre successivement, au lieu de y,, tontes les racine- <>. de l'équation / . L'intégrale doit être prise pour a, depuis a o jusqu'à a = X, ce qui fait disparaître l'indéterminée y.. Il en ot de même de (3, qui entre dan- le dénominateur; en sorte que le tenue sinix{^r est multiplié par un coefficient at dont la valeur ne dépend que <le \ et de l'indice i. Le signe 1 indique qu'après avoir donné a i ses différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.

L'intégration «dire donc un moyen très -impie de déterminer immé

.ilii THEORIE DE LA Cil M. Kl II.

diatemenl les coefficients; mais il faul examiner attentivement l'origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes :

i° Si, (huis l'équation (e), on avait omis d'écrire une partie des termes, par exemple tous ceux où l'indice est un nombre pair, on trouverait encore, en multipliant l'équation par .sin v.,.r(/.r et intégrant depuis x =■ o jusqu'à x = X, cette même valeur de a, qui a été déterminée précédemment; et l'on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie; car elle ne contiendrait qu'une partie des termes de l'équation générale, savoir ceux dont l'indice est impair.

i° L'équation complète (V que l'on obtient après avoir déterminé les coefficients, et qui ne diffère point de l'équation rapportée à l'article 291 (p. 3r4), dans laquelle on ferait t = o et c = F(.r), est telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et X, les deux membres sont nécessairement égaux; mais on ne peut point conclure, comme nous l'avons fait observer, que cette égalité ait lieu si, eboisissant pour le premier membre x¥(x) une fonction assujettie à une loi continue, telle que sin.r ou cos,r, on donnait à x une valeur non comprise entre o et X. En général, l'équation résultante (e) doit être appliquée aux valeurs de x comprises entre o et X, Or le procédé qui détermine le coefficient at ne fait point connaître pourquoi toutes les racines \xt doivent entrer dans l'équation (e), et pourquoi celte équation se rapporte uniquement aux valeurs de x comprises entre <> et X.

Pour résoudre clairement ces questions, il suffit de remonter aux principes qui servent de rondement à notre analyse.

Nous divisons l'intervalle X en un nombre infini n de parties égales à dx, en sorte que l'on a

// dx — \ ;

cl, écrivant /(x) au lieu dexY(x), nous désignons par

J !• /S» fil ■ • • i J h • • ■ ■> J n

les valeurs de ./•*') qui répondent aux valeurs

d.r. i dx, 3 dx, .... idx, .. , ndx