CHAPITRE IV DIFFUSION DE LA CHALEUR

supposé sans aucun rondement; el elle n'aurai! pu l'être : la proposition qu'elle exprime n'esl poinl de nature à être découverte par voie d'induction : on ne peul pas la connaître pour certains corps el l'ignorer pour les autres; elle esl nécessaire pour tous, afin que l'état de la superficie m subisse peu dans un temps déterminé un changement infini. Nous avons omis dans notre Mémoire les détails de la démonstration, parce qu'ils consistenl seulement dans l'application de propositions connues. Il suffisait dans cet écrit de donner le principe et le résultat, comme non» l'avons fait > l;m< l'article IÔ du Mémoire cité.

On déduit aussi de cette même condition l'équation générale dont il ^'au'ii. en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molécule placée à la surface reçoit el communique. Ces calculs, très composés, ne changent rien à la nature de la démonstration.

Dan> la recherche de l'équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peul supposer que la masse n'esl poinl homogène, el il esl très facile de déduire cette équation de l'expression analytique du flux; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.

3° Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l'air : celle qu'il a admise pour le cas où l'air est emporté avec une vitesse constante esl d'à nia ni plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre; elle aurait lieu exactemenl si cette différence était infiniment petite

Amontons a fait une expérience remarquable sur l'établissement de la chaleur dans un j > i - i — ■ i lonl l'extrémité est assujettie à une température déterminée. La loi logarithmique du décroissement des températures dans ce prisme a été donnée pour la première fois par Lambert, de l'Académie de Berlin. MM. Biol el de Rumford ont confirmé cette loi par des expériences.

Pour découvrir l<'-> équations différentielles du mouvement variable de la chaleur, et même dans les cas les plus élémentaires, comme celui du prisme cylindriq l'un très petit rayon, il étail nécessaire de connaître l'expression mathématique de la quantité de chaleur qui tra-

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verse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n'esl pas seulement proportionnelle à la différence des températures des ilcnx sections qui terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu'elle est aussi en raison inverse de l'épaisseur de cette tranche; c'est-à-dire que, si deux tranches d'un même prisme étaient inégalement épaisses et (/ne. pour la première, la différence des températures des deux bases fût la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement à des tranches dont l'épaisseur est iniinimenl petite : il s'applique à des prismes d'une épaisseur quelconque. Celte notion du flux est fondamentale; tant qu'on ne l'a point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l'équation qui l'exprime.

Il est évident que l'accroissement instantané de la température d'un point est proportionnel à l'excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue sur la quantité qu'il a perdue, et qu'une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat ; mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même : elle consiste a former réellement l'équation différentielle, ce qui exige que l'on considère ce fait dans ses éléments. Si, au lieu d'employer l'expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de celle expression, on fait naître par cela même une difficulté qui n'est nullement inhérente à la question; et il n'y a aucune théorie mathématique qui n'en présentât de semblables si l'on commençait par altérer le principe des démonstrations. Non seulement on ne peut former ainsi une équation différentielle, mais il n'y a rien de plus opposé à une équation qu'une proposition de ce genre, où Ton exprimerait l'égalité de quantités qui ne peuvent être comparées. Pour éviter celle erreur, il suffit de donner quelque attention à la démonstration cl aux conséquences du lemme précédent (art. 65, G6, 67 et 75 .

4° Quant aux notions dont nous avons déduit pour la première fois les équations différentielles, elles sont celles que les physiciens ont toujours admises. Nous ignorons si quelqu'un a pu concevoir le mou-

i il M'i i i;i. iv

DM I l ^IHN [)E I. \ Cil M. Kl R.

veraent de la chaleur comme étanl produil dans l'intérieur des corps par le seul contact des surfaces qui séparenl les différentes parties. Pour nous, une telle proposition nous paraîtrai! dépourvue de toul sens intelligible. I ne surface de contacl ne peul être le sujel d'aucune qualité physique : elle n'est ni échauffée, ni colorée, ni pesante. Il esl évident que, lorsqu'une partie d'un corps do une su chaleur à une autre, il y .1 une infinité de points matériels de la première qui agissent sur une infinité de points de la seconde. Il faut seulement ajouter que, dans l'intérieur des matières opaques, les points dont la distance n'est pas très | » < • t i 1 1 • ne peuvent se communiquer directement leur chaleur; relie qu'ils s'en\ oien i est interceptée par les molécules intermédiaires. Les tranches en contacl sont les seules qui se communiquent immédiatement leur chaleur. I orsque l'épaisseur de ces tranches égale ou surpasse la distance que la chaleur envoyée pai un point parcourt avant d'être entièrement absorbée, il n'y ;i d'action directe qu'entre les points matériels extrêmement voisins; et c'esl pour cela que l'expression du Hiiy ;i la forme que nous lui attribuons. Ce llu\ résulte donc d'une multitude infinie d'actions dont les effets s'ajoutent; mais ce n'est point pour cette cause que sa valeur pendant l'unité de temps est nue grandeur finie el mesurable, quoiqu'il ne soit déterminé que par une différence extrêmement petite entre les températures.

Lorsqu'un corps échauffé perd sa chaleur dans un milieu élastique, ou dans un espace vide d'air terminé par une enveloppe solide, la valeur de ce flux extérieur est assurément une intégrale; elle esl encore due ;i l'action d'une infinité de points matériels, liés voisins de la surface, el nous avons démontré autrefois que ce concours détermine la

loi du rayoi ment extérieur; cependant la quantité de chaleur émise

pendant l'unité de temps serait infiniment petite si la différence des températures n'avait point une valeur finie. I);nis l'intérieur des masses, la faculté conductrice esl incomparablement plus grande que celle qui s'es srce .1 la superficie : cette propriété, quelle qu'en puisse être la caus ■. 11 »us esl connue de la manière la plus claire, puisque, le prisme étanl p irvenu ;• son étal constant, la quantité de chaleur qui

o3C THÉORIE DE LA CHALEUR.

traverse une section pendant L'unité de temps compense exactement

celle qui se dissipe par toute la partie de la surface échauffée qui est placée au delà de cette section, et dont les températures surpassent celle du milieu d'une grandeur finie. Lorsqu'on n'a point égard à ce fait principal, et que l'on omet le diviseur dans l'expression du flux, il est entièrement impossible de former l'équation différentielle, même pour le cas le plus simple; à plus forte raison serait-on arrêté dans la recherche des équations générales.

5° De plus, il est nécessaire de connaître comment les dimensions de la section du prisme influent sur les valeurs des températures acquises. Quoiqu'il s'agisse seulement du mouvement linéaire, et que tous les points d'une section soient regardés comme ayant la même température, il ne s'ensuit pas que l'on puisse faire abstraction des dimensions de la section, et étendre à d'autres prismes les conséquences qui ne conviennent qu'à un seul. On ne peut point former l'équation exacte sans exprimer cette relation entre l'étendue de la section et l'effet produit à l'extrémité du prisme.

Nous ne développerons pas davantage l'examen des principes qui nous ont conduit à la connaissance des équations différentielles; nous ajoutons seulement que, pour porter un jugement approfondi sur l'utilité de ces principes, il faut aussi considérer des questions variées et difficiles : par exemple, celle que nous allons indiquer, et dont la solution manquait à notre théorie, ainsi que nous l'avions fait remarquer depuis longtemps. Cette question consiste à former les équations différentielles qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changements de température. (les équations, que nous avons données dans le cours de l'année 1820. appartiennent à l'Hydrodynamique générale; elles complètent cette branche de la Mécanique analytique.

i HAPITRE l\. DU II SION DE LA CHALEI 15. 537

Les différents corps jouissent très inégalement de cette propriété que les |>li\ siciens onl appelée conductibilité <ui conducibilitè, c'est-à-dire de la faculté d'admettre la chaleur el de la propager dans l'intérieur des masses. Nous n'avons point changé ces dénominations, quoiqu'elles ne nous paraissent point exactes. L'une »i l'autre, el surtout la première, exprimeraient plutôt, selon huiles les analogies, la faculté d'être conduit que celle de conduin .

I.a chaleur pénètre avec plus ou moins «le facilité la superficie des diverses substances, soil pour s'y introduire, soit pour en sortir, et les corps sont inégalement perméables à cet élément; c'est-à-dire qu'il s') propage avec plus ou moins de facilité ni passant d'une molécule intérieure à une autre. Nous pensons que l'on pourrait désigner ces deux propriétés distinctes par les noms de pénélrabiUtè et de permêabilùé.

Il faut surtout ne point perdre de vue que la pénétrabilité de la surface dépend de deux qualités différentes : l'une est relative au milieu extérieur, et exprime la facilité de la communication par le contact; l'autre consiste dans la propriété d'émettre ou d'admettre la chaleur rayonnante. Quant à la perméabilité spécifique, elle est propre à chaque substance el indépendante de l'étal de la superficie. An reste, les définitions précises sont !•• vrai fondement de la théorie; mais les dénominations n'ont point, dan- la matière que nous traitons, le même

degré d'importance.

On m' | m' ni [m lui appliquer cette dernière remarque aux notations ; car elles contribuent beaucoup aux progrès <\c la science du calcul. (>n m- doit le- proposer qu'avec réserve, m les admettre qu'après un long examen. Celle que nous avons employée se réduit à indiquer audessous el au-dessus du signe d'intégration / les limites de l'intégrale, en écrivant immédiatement après ce signe la différentielle de la quantité qui varie entre ces limites.

On se sert aussi du signe /^ pour exprimer la somme d'un nombre indéfini de termes (|iii dérivenl d'un terme général, où l'on fait varier l'indice i. Nous plaçons cet indice('), s'il est nécessaire, an devant du signe, et nous écrivons la première valeur de i au-dessous, et la dernière au-dessus. L'emploi habituel de ces notations en fera connaître toute l'utilité, principalement lorsque le calcul des intégrales définies devient composé, et lorsque les limites de l'intégrale sont elles-mêmes l'objet de ce calcul.

Les résultats principaux de notre théorie sont les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides ou liquides et l'équation générale qui se rapporte à la surface. La vérité de ces équations n'est point fondée sur une explication physique des effets de la chaleur. De quelque manière que l'on veuille concevoir la nature de cet élément, soit qu'on le regarde comme un être matériel distinct qui passe d'une partie de l'espace dans une autre, soit qu'on fasse consister la chaleur dans la seule transmission du mouvement, on parviendra toujours aux mêmes équations, parce que l'hypothèse qu'on aura formée doit représenter les faits généraux et simples dont les lois mathématiques sont dérivées.

t.a quantité de chaleur que se transmettent deux molécules dont les températures sont inégales dépend de la différence de ces températures. Si la différence est infiniment petite, il est certain que la chaleur communiquée est proportionnelle à cette différence; toutes les expériences concourent à démontrer rigoureusement cette proposition. Or, pour établir les équations différentielles dont il s'agit, on considère seulement l'action réciproque des molécules infiniment voisines. Il

(') Nous avons laisse subsister ce passage sans aucune modification, bien que les règles qui y sont indiquées n'aienl été presque jamais suivies par Fourier. La notation iS n'est employée nulle part dans la Théorie de lu chaleur et n'a pas d'ailleurs été adoptée par les géomètres. Quanl aux signes /, ils ne portent presque jamais l'indication des [imites; nous avons, dans cette nouvelle édition, rétabli les limites toutes les fois que leur indication nous a paru utile ou nécessaire et qu'elle n'était pas donnée dans le texte. G. I).

I BAPITRE l\. DM II Sin\ DE LA (Il M. Kl II. 539

n'\ a donc aucune incertitude sur la tonne des équations qui s;' rapl>'n i.iii ii l'intérieur de la masse.

L'équation relative à la surface exprime, comme nous l'avons dit, que le llii\ île la chaleur, dans le sens de la normale, et a l'extrémité du solide, doil avoir la même valeur, soii que l'on calcule l'action mutuelle des molécules <lu solide, soil que l'on considère l'action que le milieu exerce sur l'enveloppe. L'expression analytique <!e la première

valeur est très -impie cl exactement connue; quant à la seconde valeur, elle est sensiblement proportionnelle à la température de la surface lorsque l'excès de cette température sur celle du milieu est une quantité assez petite. Dans les autres cas, il l'a ut regarder cette seconde valeur comme donnée par une série d'observations : elle dépend de l'étal de la superficie, de la pression ci de la nature du milieu; c'esl cette valeur observée qui doit former le second membre de l'équation relative a la surface.

Dans plusieurs < j 1 1 c^t i > • n ^ importantes, celte dernière équation est remplacée par une condition donnée, qui exprime l'état, ou constant, ou variable, ou périodique de la superficie.

Les équations différentielles du mouvement de la chaleur sont des conséquences mathématiques analogues aux équations générales de l'équilibre et du mouvement, et qui dérivent, connue elles, des faits naturels les plu- constants.

Les coefficients <i, //. k. qui entrent dan- ces équations, doivent être considérés en général comme des grandeurs variables, qui dépendent

de la température on de l'étal des corps. Mai-, dans l'application aux

questions naturelles qui nous intéressent le plus, on peut attribuera oefficients des valeurs sensiblement constantes. Le premier coefficient C varie très lentement a mesure que la température s'élève. Ces changements -ont presque insensibles dans nu intervalle d'environ 3o°. Une suite d'observations précises, duc- à

.;•() THÉORIE DE LA Cil M. Kl fR.

MM. les professeurs Dulong el Petit, indique que cette valeur de la capacité spécifique croit forl lentemenl avec la température.

Le coefficient //, qui mesure la pénétrabilité de la surface, est plus variable, el se rapporte à un étal très composé. Il exprime la quantité de chaleur communiquée au milieu, soil par l'irradiation, soil par le contact. Le calcul rigoureux de celle quantité dépendrait donc de la question du mouvement de la chaleur dans les milieux liquides ou aériformes. Mais, lorsque l'excès de température est une quantité assez petite, les observations prouvent que la valeur du coefficient peut être regardée comme constante. Dans d'autres cas, il est facile de déduire (les expériences connues une correction qui donne au résultat une exactitude suffisante.

On ne peut douter que le coefficient K, mesure de la perméabilité, ne soit sujet à des variations sensibles; mais on n'a encore fait, sur ce sujet important, aucune suite d'expériences propres à nous apprendre comment la facilité de conduire la chaleur change avec la température et avec la pression. On voit par les observations que cette qualité peut être regardée comme constante dans une assez grande partie de l'échelle thermométrique; mais ces mêmes observations nous porteraient à croire que la valeur du coefficient dont il s'a»it est beaucoup plus changée par les accroissements de température que celle de la capacité spécifique.

Enfin la dilatabilité des solides, ou la disposition à augmenter de volume, n'est point la même à toutes les températures; mais, dans les questions que nous avons traitées, ces changements ne peuvent point altérer d'une manière sensible la précision des résultats. En général. dans l'étude des grands phénomènes naturels qui dépendent de la distribution de la chaleur, on est fondé à regarder comme constantes les valeurs des coefficients. Il est nécessaire de considérer d'abord sous ce point de vue les conséquences de la théorie. Ensuite la comparaison attentive de ces résultats avec ceux d'expériences très précises fera connaître quelles sont les corrections dont on doit faire usage; et l'on donnera aux recherches théoriques une extension nouvelle à mesure

' " u>l I l!l IX. DIFFl SION DE LA CH \ll.i \\. .y, i

1ue 'es observations deviendront plus nombreuses el plus exactes. On

onaitra alors quelles sonl les causes qui pourraienl modifier le mouvemenl de la chaleur dans l'intérieur des corps, el la théorie acquerra llllr perfection qu'il sérail impossible de lui donner aujourd'hui.

I haleur lumineuse, ou celle qui accompagne les rayons de lumière envoyés par les corps enflammés, pénètre les solides el les liquides diaphanes, el s'j éteinl progressivemenl en parcouranl un intervalle de grandeur sensible.

n" '"' pourrai! donc point supposer, dans l'examen de ces questions, que les impressions directes de la chaleur ne se portenl qu'à une distance extrèmemenl petite. Lorsque cette distance a une valeur unie, les équations différentielles prennent une forme différente; mais cette