ÉQUATION DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UNE SPHÈRE SOLIDE

Une masse solide homogène de forme sphérique, ayant été plongée pendant un temps intini dans un milieu entretenu à la température permanente r, est ensuite exposée à l'air qui conserve la température o et qui est déplacé avec une vitesse constante : il s'agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.

On désigne par x la distance d'un point quelconque au centre de la sphère , par v la température de ce même point après un temps écoulé t; on suppose, pour rendre la question plus générale, que la température initiale, commune à tous les points qui sont placés à la distance x du centre, est différente pour les différentes valeurs de x\ c'est ce qui aurait lieu si l'immersion ne durait point un temps infini.

Les points du solide, également distants du centre, ne cesseront point d'avoir une température commune; ainsi v est une fonction de x et de t. Lorsqu'on suppose £ = o, il est nécessaire que la valeur de cette fonction convienne à l'état initial qui est donné, et qui est entièrement arbitraire.

( il mm i i;i ii.

ÉOI ETIONS DU I II; IN flELLES.

!ll

On considérera le mouvement instantané de la chaleur dans une couche infiniment peu épaisse, terminée par les deux surfaces s | » 1 1 ('• riques dont les rayons sonl x el x dx : la quantité de chaleur (|iii. pendant un instanl infiniment petit <//, traverse la moindre surface dont le rayon esl x, el passe ainsi de la partie «lu solide qui est plus voisine «lu centre dans la couche sphérique, esl égale au produit de quatre facteurs qui sonl la conducibilité K. la durée '//, l'étendue \-r-

de la surface, el le rapport 3- pris avec un signe contraire; elle esl

exprimée par

, ■- ., àv .

- . k->- : dt.

ll.r

Pour connaître la quantité de chaleur qui s'écoule pendant le même instant par la seconde surface de la même couche, el passe de cette couche (litns la partie du solide qui l'enveloppe, il faul changer, dans l'expression précédente, x en x-\-dx, c'est-à-dire ajouter au terme

— |K- ■ dt la différentielle de Ce ferme prise par rapport il x. On

trouve ain^i

-iK-

di

à [ « dv *

il\- ( ■'■' ) dasdt,

pour l'expression de la quantité de chaleur qui sorl de la couche sphérique en traversant sa seconde surface; et, si l'on retranche cette quantité de celle qui entre par la première surface, on aura

il ! , II.

Cette différence esl évidemment la quantité de chaleur qui s'accumule dans la couche intermédiaire, el dont l'effet esl de faire varier sa température.

Le coefficient (1 désigne ce qu'il faul de chaleur pour élever <\r la température <> à la température 1 un poids déterminé «pu sert d'unité;

!)2 THEORIE DE L \ Cil VI. Kl lï.

I) est le poids de l'unité de volume; \-.i- <l.r est le volume de la couche intermédiaire ou n'eu diffère que d'une quantité qui doit être omise : doue \-.(]\).i' <lv est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche intermédiaire de la température o a la température i. Il faudra par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s'accumule dans cette couche par ]-('.\) r- <l.i\ ci l'on trouvera l'accroissement de sa température v pendant l'instant di. On obtiendra ainsi l'équation

dv=z—di— —(a* —

CD -r2 au \ dx

OU

<fr K fdsv u a <V

dt ~~ CD\g>./- + ./• ,h-i

L'équation précédente représente la loi du mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide; mais les températures des points de la surface sont encore assujetties à une condition particulière qu'il est nécessaire d'exprimer.

Celte condition relative à l'état de la surface peut varier selon la nature des questions que l'on Irai le; on pourrait supposer, par exemple, qu'après avoir échauffé la sphère et élevé toutes ses molécules à la température de l'eau bouillante, on opère le refroidissement en donnant à tous les points de la surface la température o et les retenant ii cette température par une cause extérieure quelconque. Dans ce cas, on pourrait concevoir que la sphère dont on veut déterminer l'état variable est couverte d'une enveloppe, extrêmement peu épaisse. sur laquelle la cause du refroidissement exerce son action. On supposerai! : i° que cette enveloppe infiniment mince est adhérente au solide, qu'elle est de la même substance que lui, et qu'elle en fait partie, comme les autres portions de la masse; 2° que toutes les molécules de l'enveloppe sont assujetties à la température o par une cause toujours agissante qui empêche que cette température puisse

i HAP1TRE II EQI ETIONS DIFFERENTIELLES. 93

être jamais au-dessus ou au-dessous de o. Pour exprimer cette même condition dans le calcul, on doit assujettir la fonction v, qui contient r el /. ;i devenir nulle lorsqu'on donne à x sa valeur totale \ égale au rayon de la sphère, quelle que soit d'ailleurs la valeur de /. On aurai! donc, ilanv cette hypothèse, en désignant par -r v,t) la fonction de i ci / »|tii doil donner la valeur de »\ les deux équations

K ■ dv

i D à > dx r

de plus, il faut que l'étal initial soil représenté par cette même fonction o c,t : on aura donc, pour seconde condition,

Ainsi l'étal variable d'une sphère solide, dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera représenté par une fonction r, qui doil satisfaire aux trois équations précédentes. La première esl générale el convient à chaque instanl à tous les points de la masse; la seconde affecte les seules molécules de la surface el la troisième n'appartient qu'à l'état initial.

Si le solide se refroidit dans l'air, la seconde équation est différente; il faut alors concevoir que l'enveloppe extrêmement minée est retenue, par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instanl de la sphère une quantité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever.

<>r la quantité de chaleur qui, pendant la durée d'un instanl intiniment petit dt, s'écoule dans l'intérieur du solide, à travers la surface

sphérique placée à la distance x, est éeale .1 i K - x dt: el cette

expression générale est applicable à toutes les valeurs de x. linsi, en y supposant c X, on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l'étal

94 THÉORIE DE L \ Cil M. Kl R.

variable de la sphère, passerai! à travers l'enveloppe extrêmement mince qui la termine; d'un autre côté, la surface extérieure du solide ayanl une température variable, que nous désignerons par Y, laisserait échapper dans l'air nue quantité de chaleur proportionnelle a cette température et à l'étendue de la surface, qui est 4-.X-. Celte quantité a pour valeur ]//~\'- \ ~ <ll .

Pour exprimer, comme on le suppose, «pie L'action de l'enveloppe remplace à chaque instant celle qui résulterait de la présence <ln milieu, il suf'tit d'égaler la quantité \/i-\-\ di à la valeur que

reçoit l'expression K — Zj -X2 -z-/lt, lorsqu'on donne à x sa valeur

totale X; et l'on obtient par là l'équation ,- = — ^ <•, qui doit avoir

lieu lorsque dans les fonctions ,- et v on met, au lieu de .r, sa valeur X.

ce que l'on désignera en écrivant

t- dV

Il faut donc que la valeur de -y-, prise lorsque r = X. ait un rapport constant — ^ avec la valeur de cqui répond au même point. Ainsi l'on supposera que la cause extérieure du refroidissement détermine toujours l'état de l'enveloppe extrêmement mince, en sorte que la valeur

de j- qui résulte de cet état soit proportionnelle à la valeur de r correspondante à x = X, et que le rapport constant de ces deux quantités soit - -• Cette condition étant remplie au moyen d'une cause toujours présente, qui s'oppose à ce que la valeur extrême de y- soit autre que v, l'action de l'enveloppe tiendra lieu de celle de l'air.

Il n'est point nécessaire de supposer que l'enveloppe extérieure soit extrêmement mince et l'on verra par la suite qu'elle pourrait avoir une épaisseur indéfinie. On considère ici cette épaisseur comme infi-