On développe sous la forme

a si n.' -+- b sin2x -v- rsinj.r + ds'm$x-\- . . .

la fonction <s(.z), que l'on suppose d'abord ne contenir que des puissances impaires de x soi

217-218. Expression différente de ce même développement. Application à la fonction

ex — e~x 204

219-221. La fonction quelconque <s(.r) peut être développée sous celle forme : a sin.r ■+- a2 sin2.r + a% sin3.r -t-. . . — a,- sin/.r -+-....

La valeur du coefficient général r/,- est - / <p(#) siwixdx. On en con-

•■ • 0 dut ce théorème très simple :

- tp(x) = sinx / cp( y.) sina dot. -t- sina.r / cp(a) sin3arfa 2 «/o « c

-+-sin3.r l ©(a) sin/a r/a -+- . . .

fil cpl ai s'mi:

222-223. Application de ce théorème; on en déduit cette série remarquable :

- cos.r = ■ — - sin2.r -+- — ? sin a -+- - — sinoax-i- 212

221-226. Second théorème sur le développement des fonctions en séries trigonométriques :

T.<!fi(a:)= \ cos/.r / i!/(a) COSi'a tfa.

Applications; on en conclut celte série remarquable :

- . 1 C0S2.r cos4-'' cosf'i ' ,

- sin.r = -5-; = 21 a

226-230. Les théorèmes précédents s'appliquent aux fonctions discontinues et résolvent les questions qui se sont élevées sur l'analyse de Daniel Bernoulli

I Il vi'INii; m. 553

dans le problème des cordes vibrantes. La valeur de la série an i -.n \ i . Bina csin\ i < ', sin 1 1 -m\ ; .

3t -, si l'on cboisil pour x une quantité plus grande que o ei moindre

que a; el la valeur de la série est ... si i esl une quantité quelconque

comprise entre » et -- Application .1 d'autres exemples remarquables

- a surfaces qui se confondenl dans une partie de leur cours, el diffèrenl dans toutes les autres parties .18

:i>"> quelconque F : • peu! être développée sous cette forme :

I , __ A \ «iC08x-+-aiCOsaj -H«sCOs3x-4-a4cos4j:-t-...

! l>t B'mx-hbi sina -m î /• - A, sin ; - —

Chacun d.v coefficients esl une intégrale définie. <>n .1 cm général

"A- / ''''"/'• -",= f F(x)cosixdx, -/>,= f F(x)amixdx.

On forme ainsi ce théorème général, qui est un des éléments principaux .le notre anal]

on

I = 2à [ C0Bix f I y icos/arfa - sin/./- f Fl -i 1 sini'a //-/ )

»1îF(*)=2 / F(a)c08*(x — a)dbt.

I — — ao "

il i

234. On doit regarder comme entièrement arbitraires les valeurs de I 1 qui répondent aux valeurs mprises entre — it el - -. On issi

choisir pour .r (i.- •,, ., ,c|

Remarques diverses Bur lu- éveloppements en séries trigonomé-

tri()iies

WTI.u \ II..N v Là ...1 BSTIOH \M 1 1 ! I 1 .