Remarques sur di mesdel'ii le l'équation
àv
ût ~ dx* \> i
560 ÏV1JLE des matières.
DD MOCVEMENT LIBRE DE LA CHALEUB DAMS IN SOLIDE INFINI. Articles pW
;i7^-;(7(>. L'expression du mouvement variable de la chaleur dans une masse solide infinie, et selon les trois dimensions, se déduit immédiatement de celle du mouvement linéaire. L'intégrale de l'équation
dv d^-v d*-v d'-v
dl ~ dx* "t" dj* ~*~ ù&
résout la question proposée. Il no peut y avoir" aucune intégrale pluétendue; elle se déduit aussi de la valeur particulière
c = c'n"' cosraj?, ou de celle-ci
qui
satisfont 1'
une
et r
autre à
dv dl
l'équation
d*v ~ dx*'
La généralité des intégrales (pue l'on obtient est fondée sur la proposition suivante, que l'on peut regarder comme évidente d'elle-même : deux fonctions des variables x, y, z, t sont nécessairement identiques si elles satisfont à l'équation différentielle
dv à*-v d*v <)-v dt àF "*" djï + àz* '
et si en même temps elles ont la même valeur pour une certaine valeur
de t i •'
:f77-38.'i. La chaleur contenue dans une partie du prisme infini, dont tous les autres points ont une température initiale nulle, commence à se distribuer dans toute la masse, et, après un certain intervalle de temps, l'état d'une partie du solide ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. Ce dernier résultat n'est point dû à l'augmentation do la dislance comprise entre un point de la masse et la partie qui a\;iit été échauffée; il est entièrement dû à l'augmentation du temps écoulé. — Dans toutes les questions soumises au calcul, les exposants sont des nombres absolus et non des quantités. On ne doit point omettre les parties de ces exposants qui sont incomparablement plus petites que les autres, mais seulement celles qui ont des valeurs absolues extrêmement petites [36
383-385. Les mêmes remarques s'appliquent à la distribution de la chaleur dans un
solide infini [44
i il \n i m: i\. 561
SEi nus m.
DBS PLUS HAUTES l nil'l H v 1 1 Kl - l> w^ in SOLIDE IMIM.
An I i
87. La chali i ilenne dans une parl"e du prisme se distribue dans toute la masse. I.a température d'un point éloi ■ vq progressivement, arrive - .unie valeur et d - '. Le temps après lequel ce maximum a lieu est une fonction de la dislance '. Bxpressi le cette fonction pour un prisme «lent 1rs points échauffés onl rei u la même température initiale i is
ion d'une question analogue à la , ite. Conséquences diverses de coi te solution i S 1
'■'<■!- 193 "u considère le mouvement deur dans un solide infini, ci l'on détermine le- plus hautes températures des points in1- éloignés de la partie primitivement échauffée [5G
SECTION l\.
' OMPARAISON DBS IM n.H II I S.
Première intégrale i ;■ l de l'équation
Celte intégrale expi t de la chaleur dans l'armille [6i
i Je (p) de celte même équation (a). Elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur il. mi- un solide infini [63
luit deux auirc< l'urine- '71 et (8) île l'intégrale, qui dérivent, comme la précédente, 'le l'intégrale * z > (6j
Premier développement do la valeur de o, 9elon les puissances croissantes du ii mps '■ Deu) ième développement, selon le- puissances de x. Le premier doit contenir une Beule fonction arbitraire de / [65
101 . Notation propre a représenter ce- développi me - Le calcul qui en dérive
ose d'effectuer le développement en série [68
[03. Application aux équal
l-UT=° i:°
Application aux équi
Arlii les I If
104. Usage du théorème i E) de L'article 361 pour former L'intégrale de L'équation (f) de l'article précédent j;4
405. Usage du même théorèm i pour former l'intégrale de l'équation i d . qui
eonvienl aux La s élastiques [76
inii. Seconde l'orme de celle môme intégrale {79
•i07. Lemmes qui servent à effectuer ces transformations [8o
H)8. Notre théorème exprimé par l'équation (E), p. J08. convient a un nombre
quelconque de variables 48;.
409. Usage de celle proposition pour former l'intégrale de L'équation 1 c 1 de l'article 402 [83
ilO. Application du même théorème à l'équation
ii.i- aj l </;■-
411. Intégrale de l'équation (e) des surfaces élastiques vibrantes [87
