CHAPITRE 11 l( M ETIONS DIFFÉRENTIELLES

chaleur qui sortent de la molécule de (a somme îles quantités qu'elle reçoit, el la différence esl ce qui détermine son accroissement de température pendant un instant : cette différence est

K h dzd^-dt ■ VLdzdzd^-di ^dxdyd^-dl

OJC (M OZ

"Il

Si l'on divise la quantité que l'on vient de trouver par celle qui esl nécessaire pour élever la molécule de la température o à la température i. <>n connaîtra l'accroissement de température qui s'opère pendant l'instant <li . Or cette dernière quantité esl CDdxdydz; car C désigne la capacité de chaleur de la substance, I) sa densité el dxdydz le volume de la molécule. On a donc, pour exprimer le mouvemenl de la chaleur dan- l'intérieur <lu solide, l'équation

dt CD\d ^J dzi

Il reste à former les équations qui se rapportent à l'étal «le la surlace, ce qui ne présente aucune difficulté d'après les principes que noua avons établis. En effet, la quantité de chaleur qui traverse, pendant I instant dt, le rectangle dxdy tracé sur un plan perpendiculaire

an\ a . esl

K dydz '/ dt.

résultat, qui s'applique à tous les points du solide, doit avoir lien aussi lorsque la râleur de x esl égale à l, demi-épaisseur du prisme. "•m- ce dernier cas, le rectangle dydz étanl placé à la superficie, la quantité de chaleur qui le traverse el se dissipe dan- l'air pendant

106 THEORIE DE L V CH M. Kl R.

l'instanl <lt est exprimée par

h dydz vdt\

on dnii donc avoir, lorsque x = 1, l'équation

Cette condition doit aussi être satisfaite Lorsque x = — l.

On trouvera de même que, la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdz situé sur un plan perpendiculaire à l'axe des y étant en généra]

— k dxdz -r— ,

ày

et celle qui à la superficie s'échappe dans l'air à travers ce même rectangle étant

// dx (/:■ v dt,

il est nécessaire que l'on ait l'équation

hv -+-K -T7- =o, oy

lorsque y = /ou = — /. Enfin on obtient pareillement l'équation déterminée

hv -h R -r- =o,

Ôz

qui doit être satisfaite lorsque z = l ou = — /.

La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide de forme cubique, doit donc être déterminée par les conditions suivantes :

i° Elle satisfait à l'équation générale

dv K (d*v d*v d*v\m dt~ CI» ' dx* + dyi + dz*)'

CHAPITRE II. loi ETIONS DIFFERENTIELLES. 107 Elle satisfait aux trois équations déterminées

//< K li\- k ... /m lv

Or aj os

qui oui lieu lorsque c ! /. v . /. s = d /:

Si, dans la fonction v qui contieol a?, v. -. /, on fait t = o, <|iit'llt'^ que soient les valeurs de a?, r et s, on doit avoir, selon l'hypothèse,

qui est la valeur initiale et commune de la température.

L'équation à laquelle on est parvenu dans la question précédente représente le mouvement de la chaleur <l;ms l'intérieur de tous les solides. Quelle que soit en effet la forme du corps, il esl manifeste qu'en le décomposant en molécules prismatiques on obtiendra ce même résultat. On pourrait donc se borner à démontrer ainsi l'équation de la propagation de la chaleur. .Mais, afin de rendre plus complète l'exposition des principes, et pour que l'on trouve rassemblés dans un petit nombre d'articles consécutifs les théorèmes qui servent a établir l'équation générale de la propagation dans l'intérieur des solides et celle qui se rapporte à l'étal de la surface, nous procéderons, ilaiiN les deux Sections suivantes, a la recherche de ces équations, indépendamment de toute question particulière «•! sans recourir aux propositions élémentaires que nous avons expliquées dans l'Introduction.

SEC I ION VI

l mi ui"\ i,i M lui i Dl LA PROPAGATION ni I \ HUI.lIli HO» i INTÉRIEUR DES SOLIDES.

[héorèmi I. s ' s différents points d'une masse solide homogém . iprist enln sia. plans rectangulaires, ont des températures actuelles

l08 THÉORIE DE LA Cil ^LEl R.

déterminées par l'équation linéaire

c — \ ax — by — cz

et si les molécules placées à la surface extérieure sur les six plans qui terminent le prisme sont retenues par une cause quelconque à la température exprimée par l'équation (a), toutes les molécules situées dans l'intérieur de la masse conserveront d'elles-mêmes leur température actuelle, en sorte qu'if ne surviendra aucun changement dans l'état du prisme, v désigne la température actuelle du point dont les coordonnées sont a?, v, s; A, a, h. c sont des coefficients constants.)

Pour démontrer cette proposition, considérons dans le solide trois points quelconques m, M, {x, placés sur une même droite mu. que le point M divise en deux parties égales; désignons par x, y, z les coordonnées du point m et par v sa température, par x + a, y 4- p, s -H 7 les coordonnées du point \x et par w sa température, par x - a, y - {S, s v les coordonnées du point m et par u sa température; on aura

d'où l'on conclut

r — iV = ax+b^-hcy et « — «> = aa -h 6(3

Donc

Or la quantité de chaleur qu'un point reçoit d'un autre dépend de la distance des deux points et de la différence de leurs température.. Donc l'action du point M sur le point u est égal." à l'action de m sur M : ainsi le point M reçoit autant de chaleur de m qu'il en envoie au

point [A.

On tirera la même conséquence quelles que soient la direction et la grandeur de la ligne qui passerait par le point M, et que ce point diviserait en deux parties égales. Donc il est impossible que ce point