CHAPITRE M. I \>l ITIONS DIFFÉRENTIELLES. Ml

!<• r;i|i|»i>ii de i à g, les différences des températures des deux points quelconques /// et y. sont augmentées dans le même rapport. Donc. suivanl le principe de la communication de la chaleur, il faut, pour connaître la quantité de chaleur que m envoie à y. dans la seconde hypothèse, multiplier par g la quantité que ce poinl m envoyait à ;j. dans la première. Il en serah de même de deux autres points quelconques. <»r la quantité de chaleur qui traverse un plan M résulte de la somme de toutes les actions que les points m, m . m", m .... situés d'un même côté <ln plan exercent sur 1rs points w., u.', a", u.'", ... Miiir^ de l'autre côté. Donc, si dans la première hypothèse le lln\ constanl esl désigné par K, il sera égal à gK lorsqu'on aura multiplié toutes les températures par g.

lui m;i mi U.

Dans un prisme dont les températures constantes sont exprimées pai

i, </ nation

I \ ni — h y — CS,

> t qut terminent sir plans rectangulaires dont tous les points sont entretenu* aux températures déterminées par l'équation précédente, la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse l'unité de surface s pris, mr un plan intermédiaire quelconque perpendiculaire aux z. est la menu qut I' flux constant dans un solide de même substance, qui serait compris entre deux plans parallèles infinis, et pour lequel l'équation <l< s tempèratun j constanU s st rait

Pour le démontrer, considérons, dans le prisme el ensuite dans le solide infini, deux points m et [x extrêmement voisins el séparés par le plan M perpendiculaire à l'axe des s, ■>. étant au-dessus du plan el m au-dessous fig. \ : choisissons au-dessous du même plan un poinl m' tel que la perpendiculaire abaissée du poinl y. sur le plan soil aussi perpendiculaire sui le milieu h de la distance mm'. Désignons par • .

THÉORIE DE L \ CH M. Kl R.

y, r -+- h les coordonnées du point \j. dont la température es! w, par .r — a, 7— p, r les coordonnées de //^ donl la température est v, et

par .r -h a, y 4- [3, s les coordonnées de ///' donl la température est * .

Fie- 4-

m n rn'

L'action de m sur \x ou la quantité de chaleur que /// envoie à v. pendant un certain temps peut être exprimée par g(v — w). Le facteur 7 dépend de la distance m\t. et de la nature de la masse. L'action de m' sur [x sera doue exprimée par q{v' — w); et le facteur y est le même que dans l'expression précédente; donc la somme des deux actions de /// sur u. et de m' sur ;x, ou la quantité de chaleur que ;j. reçoit de /// et de m', est exprimée par

7(1' — w -+- r' — tt-).

Or, si les points m, a, m' appartiennent au prisme, on a

te = A — ax — by — c(z -+- h),

v = A — «(.r — a) — 6(j — |3) — <-, p' = A — a(a; + a) — b(y-hfi) <■;;

et si ces mêmes [joints appartenaient au solide infini, on aurait, par hypothèse,

w = c — c(z -+- II), V — C — cz, v' = e — c z.

Dans le premier cas on trouve

q(v — w -+- e' — w) = 'i.qvh,

et dans le second cas on a encore le même résultat. Donc la quantité