CHAPITRE II. loi ETIONS DIFFÉRENTIELLES. in
Je chaleur que •)■ reçoit de /// ri de m' dans la première hypothèse, lorsque l'équation des températures constantes est
r — \ ax — by — CZ,
équivaut à la quantité de chaleur que y. reçoit de m et de ///', lorsque l'équation des températures constantes est
V=zC — CZ.
On tirerait la même conséquence par rapport à trois autres points quelconques m . •;. . m . pourvu que le second y. fui place à égale distance des deux autres et que la hauteur du triangle isoscèle m'p!m" fût parallèle aux s. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan quelconque M résulte de la somme des actions que i < mis les points ///, m, m", m , ... situés d'un côté de ce plan exercent sur tous les points pi, ■). .)..). .... situés de l'autre côté : donc le flux constanl qui, pendant l'unité de temps, traverse une partie déterminée du plan .AI dans le solide infini esl égale à la quantité de chaleur qui s'écoule dans le même temps à travers la même portion du plan AI dans le prisme dont le-* températures sont exprimées par l'équation
r — \ a r — by — es.
Corollaire.
Le llu\ a pour valeur cK dans le solide infini, lorsque la partie du plan qu'il traverse est l'unité de surface. Il a donc aussi dans le prismt
lu même valeur cK <>ti — K , •
On prouve de la même manière que le flux constant qui <i lieu, pendant Vunilè de temps, dam d même prisme à travers I mute de sur/un nu un plan quelconque perpendiculain aua y est égala oK ou K -r-; et que << lui qui tra\ < t u le plan />■ rp( ndù ulain aux t a pour valeur a\\
"Il K ; ■
M'i THEORIE DE \.\ Cil \LKl 15.
Les propositions <]iic l'on a démontrées dans les articles précédents s'appliquent aussi au cas où l'action instantanée (l'une molécule s'exercerail dans l'intérieur de la masse, jusqu'à une distance appréciable. Il faut, dans ce cas, supposer que la cause qui retient les tranches extérieures des corps dans l'étal exprimé par l'équation linéaire affecte la masse jusqu'à une profondeur tinie. Toutes les observations concourenl ;i prouver que, dans les solides el les liquides, la distance dont il s'agil est extrêmement petite.
Théorème III.
Si les températures des points d'un solide sont exprimées par l'équation
dans laquelle x, y, z sont les coordonnées de la molécule dont la température est égale à v après le temps écoulé /, le ilu\ de chaleur qui traverse une partie d'un plan trace dans le solide, et perpendiculaire à l'un des trois axes, n'est plus constant; sa valeur est différente pour les différentes parties du plan, et elle varie aussi avec le temps. Cette quantité variable peut être déterminée par le calcul.
Soil (o un cercle infiniment petit dont le centre coïncide avec le point m du solide cl dont le plan soil perpendiculaire a la coordonnée verticale z\ il s'écoulera, pendant l'instant <li. a travers ce cercle, une certaine quantité de chaleur qui passera de la partie du solide intérieure au plan du cercle dans la partie supérieure. Ce flux se compose de Ions les rayons de chaleur qui partent d'un point inférieur cl parviennent à un point supérieur, en traversant un point de la petite surface (•>. Nous allons démontrer que la valeur du flux a pour expression
ri:
Désignons par ce', y', z' les coordonnées du poinl /// dont la tempera-
CIIAPITRE M. ÉQl VïhtNS DIFFÉRENTIELLES. Mo
ture esl i : el supposons que l'on rapporte toutes les autres molécules .1 ce point /// choisi pour l'origine de trois nouveaux axes parallèles aux précédents; soient :. /. Ç les trois coordonnées d'un poinl rapporté ii l'origine ///; on aura, pour exprimer la température actuelle w d'une molécule infinimenl voisine de ///. l'équation linéaire
Les coefficients v\ • ' -■> -!- sonl les valeurs une l'on trouve en subojc oy oz '
stituant dans les fonctions v, -t-i t-> t-> aux variables r, r, s, les
(/ /• Ji oz
quantités constantes i . \'. : qui mesurenl les distances du poinl m aux trois premiers axes des , , desj . des -.
Supposons maintenant que le même poinl m soil aussi une molécule intérieure d'un prisme rectangulaire compris entre six plans perpendiculaires aux trois axes dont m est l'origine ; que la température actuelle w de chaque molécule de ce prisme, dont les dimensions sonl Unies, soil exprimée par l'équation linéaire w=\-\-<ii — l>ri <■'!, el que les six faces qui terminent le prisme soient retenues aux températures fixes que cette dernière équation leur assigne. L'étal des molécules intérieures sera aussi permanent cl il s'écoulera, pendant l'instanl dt, a travers le cercle '•>. une quantité de chaleur que mesure ression Kc<adt.
Cela posé, si l'on prend pour les valeurs des constantes \. a, b, c,
les iiuaiilil's v . — » - • • létal lixe du prisme scia exprime par 1 ox oy oz ' ' ■
l'équation
di
.h - dj
Ainsi |.s molécules infinimenl voisines du point /// auront, pendant l'instant dt, la même température actuelle dans le solide dont l'étal esl variable, el dans le prisme donl l'étal esl constant. Donc le flux i|ui a lieu au point m pendanl l'instanl dt, à travers le cercle inti-
ll6 THÉORIE DE LA CHALEUR.
nimenj petit Bf est le même dans l'un et l'autre solide : donc il esl
i- dv> 7.
exprime par — K () M<u-
On en conclut la proposition suivante :
Si dans un solide dont les températures intérieures varient avec le temps, en vertu de l'action des molécules, on trace une ligne droite quelconque et que l'on élève {fig. 5), aux différents points de cette ligne, les ordon-
Fig. 5.
nées pm d'une courbe plane égales aux températures de ces points prises au même instant, le flux de chaleur, en chaque point p de la droite, sera proportionnel à la tangente de l'angle a que fait l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses; c'est-à-dire que, si l'on plaçait au point/, le centre d'un cercle infiniment petit w perpendiculaire à la ligne, la quantité de chaleur écoulée pendant un instant dt, à travers ce cercle, dans le sens suivant lequel les abscisses 0/, croissent, aurait pour mesure le produit de quatre facteurs qui sont la tangente de l'angle x, un coefficient constant K, l'aire co du cercle et la durée dt de 1 instant"
Corollaire.
Si l'on représente par z l'abscisse de cette courbe ou la distance
d'un point/; de la droite a un point fixe 0, et par r l'ordonne,, qu.
représente la température du point/,, e variera avec la distance z et
sera une certaine fonctionne de cette distance; la quantité de cha-
CHAPITRJ II. ÊQl ITIONS DIFFÉRENTIELLES. HT
leur qui s'écoulerait à travers le cercle tu, placé au poinl p perpendiculairement à la ligne, sera
— K -y- '.»'// «ni K/'(e \(ùdt, en désignant par / : la fonction
' ' di
Nous donnerons a ce résultat l'expression suivante, qui facilite les applications :
Pour connaître le flux actuel de lu chaleur < n un point p d'une droite tracêi dans un wlidi dont les températures varient par l'action des molécules, il huit diviser In différence des températures de deux points infiniment voisins <ln poinl p par In distance de ces points. Le /lue est proportionnel nu quotient ' .
clément il esi quotient multiplié par — K ■■>'//. K désignanl tou-
jours K- coefficient il'' conductibilité el -•■ la surface de l'élémenl normal à la droite. I sai 3 conséquences Kourier aurait pu simplifier son exposition
ter quelques incertitudes qi - - gnalerons plus loin.
sons, l'on se pro] se de trouver le flux de chaleur qui s'écoule à tra-
lément '•■ dont la normale prise 'loi- un sens déterminé fail avec les axes coor-
f. So i inées d un poinl de 1 élément : si nous
- - ivanl la normale en parcourant mu' longueur infinimenl petite ds, nous
aurai - ir les différentielles de ./•. > . -. les valeurs
'/ t&COSp, dz — ds cosy
- pient,
; 1 i ' ÔV \
I dz = (h COS9C COS 5 •- — COSV .
l lux le chaleur étant, d après 1 1 règle de I
— h • , dl
■ --Mil
; 'h' r àv \
— K -.. dl COS * •+- -7- COS S - COS 7 .
■ \ introduit la notion, aujourd'hui bien répandue, de la déri fonction de
m donnée, la : r s'énoi ce 1 nsi :
l ùt de k ■■• di par la dérivée dt lu température par rapport a la normale a l'élément, a l'instant considén e, . |).
US THÉORIE DE LA CH M. Kl R.
Théorème IV.
Il ,«st facile de déduire des théorèmes précédents les équations générales de la propagation de la chaleur.
Supposons que les différents points d'un solide homogène d'une forme quelconque aient reçu des températures i ni t, aies qui varient successivement narV effet de l'action mutuelle des molécules et une l'équation
représente les états successifs du solide, on va démontrer que la fonction * de quatre variables satisfait nécessairement à V équation
dt~~CV\dx* dy* àz2)
lîn effet, considérons le mouvement de la chaleur dans une molécule comprise entre six plans perpendiculaires aux axes des x, des y et des s; les trois premiers de ces plans passenl par le point m dont les coordonnées sont x, y, z el les trois autres passent par le point m' dont les coordonnées sont x -+- dx, y + dy, z- + dz.
La molécule reçoit pendant l'instant dt, à travers le rectangle inférieur dxdy qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à
-k,/.r,/r'^ dt.
Pour connaître la quantité qui sort de la molécule par la lace oppo.ee. il suffit de changer dans l'expression précédente r. en s + efe, c'està-dire d'ajouter à celte expression sa propre différentielle prise par rapport à r seulement; on aura donc
pour la valeur de la quantité qui sorl \< travers le rectangle supérieur.
