CHAPITRE II. ÊQ1 ETIONS DIFFÉRENTIELLES. Llî

La même molécule reçoit encore, à travers le premier rectangle da qui passe par le poinl m, une quantité de chaleur égale à

k dxdzdl;

et, si l'on ajoute à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à i seulement, on trouve que la quantité <|m sorl à travers la Face opposée dxdz a pour expression

) di

k' - dxdzdt k ' i " '. .// dzdt.

dj <h ■''

Enfin cette molécule reçoit, par le premier rectangle dydz, nue quantité de chaleur égale à

— K^-dvdzdt,

el ce qu'elle perd à travers le rectangle opposé qui passe par m a pour expression

k '' /. dzdt k r ( ^L

Il faut maintenant prendre la somme «les quantités de chaleur que la molécule reçoil el en retrancher la somme de celles qu'elle perd. On \"it par là qu'il s'accumule, durant l'instant dt, dans l'intérieur de rette molécule, une quantité totale de chaleur égale à

dxdj

dzdt.

Il ne s'agit plus que de connaître quel est l'accroissement de température i|iii doit résulter de cette addition «le chaleur.

|i étant la densité du solide ou le poids de l'unité de volume, el C la

capacité spécifiq i la quantité de chaleur qui élève l'unité de poids

de la température o à la température r, le produit C D dx dy dz exprime combien il faut de chaleur pour élever de <> à i la molécule dont le volume esl da dydz. Donc, en divisant par >■<■ produit la nou-

dv

k /<y-v <)-s di\

dt ~

CD \dâï + Oy! + d?

\K) THÉORIE DE I. \ CH M. Kl R.

velle quantité île chaleur que la molécule vient d'acquérir, on aura son accroissement de température. On obtient ainsi L'équation générale

qui est celle (le la propagation de la chaleur dans l'intérieur de tous les corps solides (').

Indépendamment de cette équation, le système des températures est souvent assujetti à plusieurs conditions déterminées, dont on ne peut donner une expression générale, puisqu'elles dépendent de l'espèce de la question.

Si la masse dans laquelle la chaleur se propage a des dimensions finies et si la superficie est retenue par une cause spéciale dans un état donné; par exemple, si tous ses points conservent, en vertu de cette cause, la température constante o, on aura, en désignant la fonction inconnue v par o{.r, y, z, /), l'équation de condition

il est nécessaire qu'elle soit satisfaite pour toutes les valeurs de x, v. r qui appartiennent aux points de la surface extérieure cl pour une valeur quelconque de t.

De plus, si l'on suppose que les températures initiales du corps sont exprimées par la fonction connue Y(x,y, z), on à aussi l'équation

<?(-r,r, :-,o) = Fl x,y, z);

la condition exprimée par cette équation doit être remplie pour les

(') 11 y a ici une remarque à présenter. Les raisonnements par lesquels Fourier <i établi ^ni équation supposenl tacitement que le corps solide jouit de propriétés que nous exprimons aujourd'hui en disant que le corps est isotrope. Au reste, c'est en suivant sa méthode 1 1 io >c> sueiv— euis Duhamel et Lamé ont trouvé les équations différentielles de la pr<>| >;t- "ation de la chaleur dans les milieux cristallin is. <i- D.

i IIM'IIKI. II. EQ1 vrinNS DIFFERENTIELLES.

valeurs des coordonnées c, \. z qui conviennent à un poinl « i m* I - L'onque «lit solide.

Au lieu d'assujettir la surface du corps à nue température constante, on peul supposer que cette température n'esl |>as lu même l>i>ur les différents points de la surface el qu'elle varie avec le temps suivant une loi donnée; c'esl ce qui a lieu dans la question des températures terrestres. Dans ce cas, l'équation relative à la surface contienl la variable /.

Pour examiner en elle-même el sous un poinl de vue très général la question de la propagation tic la chaleur, il faut supposer que le solide dont l'état initial esl donné a toutes ses dimensions infinies; alors aucune condition spéciale ne trouble la diffusion de la chaleur cl la loi il laquelle ce principe est soumis devient plus manifeste : elle esl exprimée par l'équation générale

.1 laquelle il faut joindre celle qui se rapporte à l'étal initial <i arbitraire du solide.

Supposons que la température initiale d'une molécule donl les coordonnées -"lit i , \ . : soit une fonction connue F cfy, z el désig s

la valeur inconnue v par : ...-./. on aura l'équation déterminée

ainsi la question esl réduite à intégrer l'équation générale \ en sorte qu'elle convienne, lorsque le temps esl nul, avec l'équation <|ui contient la fonction arbitraire I .

l22 THÉORIE DE LA CH UJEUR.