CHAPITRE II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. L
Il résulte du corollaire énoncé dans l'article I 1 1 que le flux dans le
- de I i normale, ou la quantité de chaleur <|iii traverserai! pendanl
I instant dt la surface w, si on la plaçai) en un point quelconq le
cette ligne perpendiculairement à sa direction, est proportionnel au quotient que l'on obtient en divisant la différence de température de deux points infiniment voisins par leur distance. Donc l'expression de ce lln\ à l'extrémité de la normale est
K désignant la conducibilité spécifique de la masse. D'un autre côté, la surface ■■> laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dt, une quantité de chaleur égale à
//>',! (Il,
li étant la conducibilité relative à l'air atmosphérique. Ainsi le flux de chaleur à l'extrémité de la normale a deux expressions différentes,
savoir : A*>ai dt et -- K - - - co dt: donc ces deux quantités sont égales,
el c'est en exprimant cette égalité que l'on introduira dans le calcul la condition relative à la surface.
Ou a
il = v
dv ,
Or il miii des principes <\>- la Géométrie que les coordonnées Sa?, ov, '-"• qui fixent la position du point v <\i- la normale par rapport au point [x, satisfont aux conditions suivantes :
< >n a don.
/• 3 1 /' oz.
d^ ih
/< I ih ■
124 THÉORIE DE l.\ CH \I.KI R.
on ;i aussi
oll
P en désignant par 7 la quantité [m* + n2-h/?2)2; donc
par conséquent l'égalité
devient la suivante :
dv <h- dv h
(B) "iâI-+^-f-^ + Kr^"-
Cette équation est déterminée et ne s'applique qu'aux points de la surface; elle est celle que l'on doit joindre à l'équation générale de la propagation de la chaleur (A) et à la condition qui détermine l'état initial du solide; m, n,p, q sont des Fonctions connues des coordonnées des points de la surface.
L'équation (B) signifie, en général, que le décroissement de la température dans le sens de la normale, à l'extrémité du solide, est tel que la quantité de chaleur qui tend à sortir en vertu de l'action des
(>) Il y a ici une remarque essentielle à faire. L'équation
n'est exacte dans tous les cas que si l'on convient de donner un signe convenable au radical i
La valeur de Sz étant parfaitement déterminée quand on passe du point y au point •> et x étant la des deux points y et v, il faudra donner au radical un -une tel que la
valeur (K- / soil positive. \u reste non- reviendrons plus loin sur ce sujet. G. I».
' " vn ' l;l: IL ÉQl M l«)\S DIFFÉREN l'IELLES. 125
molécules équivi oujours à celle que le corps doil prendre dans le
milieu.
0n pourrai! concevoir que la masse du solide soit prolongée, en sorte 'l'"' Ll surface- ;1"1"'" d'être exposée à l'air, appartienne à la fois au
corPs ,1"VII«' termine et à une enveloppe solide qui le c ient. s,.
dans cette ^'POthèse, une cause quelconque réglait à chaque instant le décroissement des températures dans l'enveloppe solide et la déterminail ,|'' manière que la condition exprimée par l'équation B fût
toujours satisfaite, l'action de l'enveloppe tiendrait lieu de celle de l'air, ,-1 ,e mouvement de la chaleur serait le même dans l'un et l'autre casi ""l"'"' donc supposer que cette cause existe et déterminer, dans cette' ^Pothèse, l'état variable du solide .-c'est ce que l'on fait en employant les deux équations \ et H .
n" v"" l':"' la comment l'interruption de la masse et l'action du
mi1"'" " >,enl '» diffusion de la chaleur en l'assujettissant à une
condition accidentelle.
n" Peul aussi considérer sous un autre point de vue cette équa- """ fB 'l'" se PaPP°rte " l'état de la surface; .1 faut auparavani ,lr',m,v une conséquence remarquable du théorème III art. 140). V'"^ conserverons la construction rapportée dans le corollaire du
même théorème art. 141 .Soient r, y, z les coordonnées < int „
celles d'un point q, infiniment voisin de p et marqué sur la droite dont ,,s'a« ' ^signons par , et n les températures des deux points p et 9 prises pour le même instant; on aura
Jonc ,e quotient '- est donné par l'équation
cl l'on ;i d'ailleurs
théorie i> i: i. \ en \u;i i;
Ô£ = \/oxi -f- oy- ■+■ oz'1 ;
ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule à travers la surface co, placée au point m perpendiculairement à la droite, esl
, ( dv ô\r dv or dv oz\
K co 'Il -.- — -+- -r- f- -\- -j- 5- ■ \tfx os oy os dz ôi
Le premier terme est le produit de — K-y^ par dt et par iû-, - ■ Cette
dx
dernière quantité est, d'après les principes de la Géométrie, l'aire de la projection de co sur le plan des y;; ainsi le produit représente la quantité de chaleur qui s'écoulerait à travers l'aire de la projection, si on la plaçait au point/? perpendiculairement à l'axe des ce.
Le second terme -K ,-oi~d/ représente la quantité de chaleur
ôy os l '
qui traverserait la projection de a>, faite sur le plan desr~, si l'on plaçait cette projection au point/? parallèlement à elle-même.
Enfin, le troisième terme — K-^co^-c// représente la quantité de
dz oe * '
chaleur qui s'écoulerait pendant l'instant dt, à travers la projection de co sur le plan des ccy, si l'on plaçait cette projection au point p perpendiculairement à la coordonnée z.
On voit par là que lu quantité de chaleur f/ui s'écoule à travers chaque partie infiniment petite d'une surface tracée dans l' intérieur du solide peut toujours être décomposée en trois autres, qui pénètrent les trois projections orthogonales de la su/face selon les directions perpendiculaires aux plans des projections. Ce résultat donne naissance à des propriétés analogues à celles que Ton remarque dans la théorie des forces.
La quantité de chaleur qui s'écoule à travers une surface plane inliniinent petite co, donnée de figure et de position, étant équivalente a celle qui traverserait ses trois projections orthogonales, il s'ensuit que, si l'on conçoit dans l'intérieur du solide un élément d'une figure quel-
