IV -r — ■ il 1 il
il r ,).r
Ce terme exprime combien la molécule reçoit de chaleur par les faces perpendiculaires aux 1 .
()" trouvera par un calcul semblable que la même molécule reçoit I'" 'es faces perpendiculaires au\ y nue quantité de chaleur égale a
K ; il r ,(\ .
, ) I rll
I a quantité il.- chaleur que la molécule reçoit par la base rectangulaire est
-K^cLcdy.
Enfin elle laisse échapper dans l'air, a travers la surface supérieure a'b'cd', une certaine quantité de chaleur égale au produit de hv par l'étendue <•> de cette surface. La valeur de eu est, selon les principes connus, celle de dxdy multipliée par le rapport '; 1 désigne
'•' longueur de la normale, depuis la surface extérieure jusqu'au plan des 1 ■ . et l'on a
donc la molécule perd à travers sa surface a'b'cd une quantité d chaleur 1 -
"' 'es termes du premier ordre qui entrent dan- l'expression de la quantité totale de chaleur acquise par la molécule doivent se détruire,
130 THÉORIE DE L ^ CH M. Kl It.
pour (jiic la variation des températures ne soit pas ii chaque instant une quantité t i 1 1 i « • ; on doit donc avoir l'équation (')
K -— -?— dx dy +-K- dx dy — K -r- dx dv — ho - dx dy ■= o
<)./■ dx J dy dy dz J z
OU
ht dv dz dv dz dv
k z dx dx dy dy dz
En mettant pour ^ et ^ leurs valeurs tirées de l'équation
m dx -+- n dy -+- p dz = o
(') Ici encore il y a défaut de précision dans l'établissement de l'équation à la surface. La méthode suivie par Fourier suppose, ce qui peut fort bien ne pas arriver, que le solide dont il considère toutes les faces soit placé à l'intérieur du corps.
Au reste, on obtient immédiatement cette équation si l'on évalue, d'après la règle donner dans une Note précédente (p. 117), le flux de chaleur qui passe à travers un élément infiniment petit w de la surface; *, p, 7 désignant les angles que fait avec les axes la normale extérieure au corps, le flux a pour expression
dv dv dv
K w (Il ( — COS a -}- -r- COSp -I- — COS7 \dx or ' dz
ày
Comme il doit être égal à /*»(( — Ç), ? désignant la température extérieure au contact de l'élément, on a
il!' K ( — COS a -+- —COS 3 -+- -r- cosv ) -H //(t> — ï) = o.
OX OJ ' OZ j
En faisant 'C = o et en remplaçant les cosinus par leurs valeurs déduites des équations
rosx cos|5 cosy ±1
on retrouve l'équation (B), mais avec un signe parfaitement déterminé pour le radical q. L'équation ( B' 1, donnée plus haut, peut encore s'écrire
— désignant la dérivée de v suivant la normale à la surface, intérieure au corps
CHAPITRE II. ÊQl ETIONS DIFFÉRENTIELLES. 131 el désignant par q la quantité ///'-' -+- «2 + /'' , " • on a
D L ''' L àV . <A- ,
|, Km- nK/»-r — i- k/> , - /m-./ o;
on connaît ainsi d'une manière d i >t i iu- 1 c ce que représente chacun 1 1 ••termes «le cette équation.
En les prenant tous avec «les signes contraires et les multipliant par le rectangle dxdy, le premier exprime combien la molécule reçoit de chaleur par le> deux l'aees perpendiculaires aux x, le deuxième combien elle en reçoit par ses deux faces perpendiculaires aux y, le troisième combien elle en reçoit par la face perpendiculaire aux s, el le quatrième combien elle en recuit du milieu. L'équation exprime donc que la somme de tous ces tenue- du premier ordre est nulle, et «pie la chaleur acquise ne peut être représentée que par des ternies du second ordre.
Pour parvenir à celle équation B , il Tant considérer une des molécules dont la hase est à la surface du solide comme un vase qui reçoit ou perd la chaleur par -es différentes laces. L'équation signifie que tous les tenue- du premier ordre <jni entrent dans l'expression de la chaleur acquise se détruisent mutuellement , en sorte que cet accroissement de chaleur ne peut être exprimé que par des termes (lu second ordre. <m peut donner à cette molécule, ou la forme d'un prisme droit dont l'axe esl perpendiculaire à la surface du solide, ou celle d'un prisme tronqué, ou une forme quelconque.
L'équation générale A suppose que tous les termes du premier ordre se détruisent dans l'intérieur de la masse, ce qui esl évident pour des molécules prismatiques comprises dan- le solide. L'équation H exprime le même résultat pour les molécules placées aux limites des i orps.
Tels sont les point- de vue généraux sous lesquels on peut envisager cette partie de la théorie de la chaleur.
THÉORIE DE l,\ « : 1 1 VLEl I!.
L'équation
àt
K (d'-v Cl) V âx*
(Py dr*
(P v dz1
représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur des corps théorème fait connaître la distribution instantanée dans toutes substances solides ou liquides; on en pourrait déduire l'équation convient à chaque cas particulier.
Nous ferons cette application, dans les deux articles suivants. question du cylindre et à celle de la sphère.
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les
qui
à la
SKCTION VIII.
