CHAPITRE 11. ÊQl ITIONS DIFFERENTIELLES

Les trois équations du second ordre donnent

•I. mettant pour | ''')'• | ^ | - | ^ f la valn.r [,

mi a

Faisant les substitutions dans l'équation (a . on aura L'équation

i: in <>'-2

qui est la même que celle de l'article 1 1 i.

L'équation contiendrait un plus grand nombre de termes si l'on ne supposait [mini que les molécules également éloignées du centre ont reçu la même température initiale.

On pourrait aussi déduire de L'équation déterminée (B) celles qui expriment l'étal de la surface dans les questions particulières où Ton suppose qu'un solide d'une forme donnée communique sa chaleur à l'air atmosphérique, mais le plus souvent ces équations se présentent d'elles-mêmes, et la forme en est très -impie lorsque les coordonnées sont choisies convenablement .

BE> ABOCBS '. i n l il U. KS.

La recherche des lois du mouvement de la chaleur dans les solides consiste maintenant à intégrer le- équations que nous avons rapportées: c'est l'objet des Chapitres suivants; nous terminerons celui-ci

136 THÉORIE DE I, V CH \I.Kl R.

par <li's remarques générales sur la nature des quantités <|ui entrent dans nulle analyse.

Pour mesurer ces quantités el les exprimer en nombres, on les compare à diverses sortes d'unités, au nombre de cinq, savoir : l'unité de longueur, l'unité île temps, celle de la température, celle du poids el enfin l'unité qui ser( à mesurer les quantités de chaleur. On aurai! pu choisir pour celle dernière unité la quantité de chaleur qui élève un volume donné d'une certaine substance depuis la température o jusqu'à la température i. Le choix de cette unité serait préférable à plusieurs égards à celui de la quantité de chaleur nécessaire pour convertir une masse de glace d'un poids donné en une masse pareille d'eau, sans élever la température <>. Nous n'avons adopté celle dernière unité que parce qu'elle était en quelque sorte fixée d'avance dans plusieurs Ouvrages de Physique; au reste, cette supposition n'apporterait aucun changement dans les résultats du calcul.

Les éléments spécifiques qui déterminent dans chaque corps les effets mesurables de la chaleur sont au nombre de trois, savoir : la conducibilité propre, la conducibilité relative à l'air atmosphérique et la capacité de chaleur.

Les nombres qui expriment ces quantités sont, comme la pesanteur spécifique, autant de caractères naturels propres aux diverses substances.

Nous avons déjà remarqué (art. 36) que la conducibilité de la surface serait mesurée d'une manière plus exacte >i l'on avait des observations suffisantes sur les effets de la chaleur rayonnante dans les espaces vides d'air.

On peut voir, comme nous l'avons annonce dans la Section I du Chapitre 1 (art. 11), qu'il n'entre dans le calcul que trois coefficients spécifiques K, //, C; ils doivent être déterminés par des observations et nous indiquerons par la suite les expériences propres à les faire connaître avec précision.

'Il \l'l IKI. Il l \Q\ ETIONS DIFFÉREN flELLES. 13"

Le nombre C, qui entre dans le calcul, esl toujours multiplié par la densité D, c'est-à-dire par le nombre d'unités de poids qui équivalenl au poids de l'unité de volume; ainsi ce produit CD peut être remplacé par le coefficient c. Dans ce cas, on doit entendre, par capacité spécifique de chaleur, la quantité nécessaire pour élever de la température o à la température i l'unité de volume d'une substance donnée '•i non l'unité de poids de cette substance. C'esl pour ne pas s'éloigner des définitions communes que l'on a rapporté dans cel Ouvrage la capacité de chaleur au poids el non au volume; mais il sérail préférable d'employer le coefficient c, tel que nous venons de le définir; alors il n'entrera dans les expressions analytiques aucune grandeur mesurée par l'unité de pouls; on aura seulement à considérer :

I La dimension linéaire x, la température v el le temps t\ Les coefficients c, h et K.

Les trois premières quantités sonl des indéterminées, el les trois autres sont, pour chaque substance, des éléments constants que l'expérience lait connaître. Quant à l'unité de surface et à l'unité de volume, elles n'ont rien d'absolu et dépendent de l'unité de longueur.

II faut maintenant remarquer que chaque grandeur indéterminée ou stante a une dimension qui lui esl propre el que les termes d'un,'

même équation ne pourraient pas être comparés, s'ils n'avaient point !-• même < vposant de dimension. Non- avons introduit cette considération dans la Théorie de la chaleur pour rendre nos définitions plus fixes i I si m r à vérifier le calcul; elle dérive des notions primordiales sur les quantités : c'esl pour cette raison que, dans la Géométrie et dans |a M< que, elle équivaut aux lemmes fondamentaux que lesGrecs nous ont laissés sans démonstration.

L38 THEORIE DE LA CB \U:t R.

Dans la théorie analytique de la chaleur, toute équation (E) exprime une relation nécessaire cuire des grandeurs subsistantes x, t, r, c, h, K. Celte relation ne dépend point du choix, de l'unité de longueur, qui de sa nature est contingent; c'est-à-dire que, si l'on prenait une unité différente pour mesurer les dimensions linéaires, l'équation (E) serait encore la même. Supposons donc que l'unité de longueur soit changée el que sa seconde valeur soit équivalente à la première divisée par ///. lue quantité quelconque x qui, dans l'équation (E), représente une certaine ligne ab et qui, par conséquent, désigne un certain nombre de fois l'unité de longueur, deviendra m.r, afin de correspondre à la même grandeur ab; la valeur / du temps et la valeur c de la température ne seront point changées; il n'en sera pas de même des éléments

spécifiques h, K,c : le premier h deviendra — %; car il exprime la quantité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface à la température i. Si l'on examine avec attention la nature du coefficient K, tel que nous l'avons défini dans les articles 68 et 135, on

reconnaîtra qu'il devient — ; car le flux de chaleur est en raison 1 m

directe de l'étendue de la surface et en raison inverse de la distance

des deux plans infinis (art. 72). Quant au coefficient c qui représente

le produit CD, il dépend aussi de l'unité de longueur et devient — ;

donc l'équation (E) ne doit subir aucun changement si l'on écrit, au

K h c lieu de x, moc, et en même temps — , — ;> — : au lieu de K, //, c: le

nombre m disparaîtra de lui-même après ces substitutions : ainsi la dimension de x par rapport à l'unité de longueur est 1 ; celle de K esl — 1, celle de h est — 2, et celle de c est — 3. Si l'on attribue à chaque quantité son exposant de dimension, l'équation sera homogène, parce que chaque terme aura le même exposant total. Les nombres tels que .v, qui représenteraient des surfaces ou des solides, ont la dimension 2